Г.С. Михайлов, Р.Р. Саакян, И.А. Шпехт, Е.И. Шутова

АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Факультет математики и информатики

 

 

Г.С. Михайлов, Р.Р. Саакян, И.А. Шпехт, Е.И. Шутова

 

Численные

методы решения

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

 

Методическое пособие

 

Благовещенск

 

	Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета математики и информатики Амурского государственного университета

ББК 22.193

М 69

Г.С. Михайлов, Р.Р. Саакян,

И.А. Шпехт, Е.И. Шутова

 

 

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Методическое пособие. / Благовещенск, Амурский гос. ун-т. 2000.

 

Пособие содержит постановку, краткий анализ методов решения ОДУ и систем ОДУ, набор заданий и последовательность их выполнения.

Предназначено для студентов математических специальностей.

 

 

Рецензенты: А.П. Павлюк, доцент, канд. физ.-мат. наук,

А.В. Бушманов, зав. кафедрой ИУС АмГУ, канд. техн. наук,

 

ã Амурский государственный университет, 2000

В В Е Д Е Н И Е

Методическое руководство к лабораторным работам по численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений предназначено для студентов специальности «Прикладная математика».

Цель методического указания – закрепить теоретические знания студентов о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ЧМР ОДУ), дать им практические навыки ЧМР ОДУ в научно-технических задачах.

В качестве технических средств, применяемых для выполнения лабораторной работы, используются IBM-PC компьютеры, имеющие конфигурацию:

микропроцессор Intel Pentium-100 или аналог,

не менее 8 Mb оперативной памяти,

а также программное обеспечение Microsoft’95 или выше.

Рекомендуемая среда для разработки программного обеспечения –Mathcad, Маtlab и другие математические пакеты.

В описании всех лабораторных работ приведены краткие теоретические сведения, определены задания и порядок выполнения работы, а также даны варианты заданий.

Каждая лабораторная работа складывается из нескольких стадий: подготовка, разработка программы, выполнение расчетов, оформление и сдача отчета по работе.

Подготовка к лабораторной работе предполагает самостоятельную работу студента по овладению навыками практического применения теоретического материала для решения задач на IBM-PC.

Оформление и сдача отчета по лабораторной работе. Каждую лабораторную работу студент оформляет в виде отчета, который должен содержать: краткое теоретическое описание метода, исходные данные по вариантам, текст программы, полученные результаты расчетов в виде таблиц и графиков, выводы по работе.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

 

МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЭЙЛЕРА

 

Задание и порядок выполнения работы

 

1. Изучить теоретические основы метода.

2. Составить программу реализации для каждого метода.

3. Решить вариант задачи и построить графики для точного и приближенного решений с шагом h, проверить сходимость.

4. Вычислить и построить графики для локальной и истинной(между точным и приближенным решениями) погрешностей.

5. Провести сравнительный анализ методов.

 

Варианты заданий

 

Таблица 1

 

№ п/п	Уравнение	Начальное условие	Шаг	Отрезок	Точное решение
		y(0)=1	0,1	[0;5]
		y(0)=1	0,1	[0;5]
		y(0)=2	0,1	[0;5]
		y(0)=2	0,1	[0;5]
		y(0)=1	0,1	[0;5]
		y(0)=1	0,1	[0;5]
		y(2)=0	0,1	[2;7]

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

 

МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТЫ

Задание и порядок выполнения работы

 

1. Изучить теоретические основы метода.

2. Составить программу реализации для ЯМРК-3 и ЯМРК-4.

3. Решить вариант задачи и построить графики для приближенного решения с шагом h, проверить сходимость.

4. Вычислить и построить графики для локальных погрешностей.

5. Провести сравнительный анализ методов.

 

Варианты заданий

 

Таблица 2

 

№ п/п	Система уравнений	Начальные условия	Шаг	Отрезок
		y1(0)=1   y2(0)=0,05	0,1	[0;10]
		y1(0)=1   y2(0)=0,5	0,1	[0;10]
		y1(0)=0,5   y2(0)=1	0,1	[0;10]
		y1(0)=0,5   y2(0)=1	0,1	[0;10]
		y1(0)=1   y2(0)=0,5	0,1	[0;10]
		y1(0)=0   y2(0)=1	0,1	[0;10]
		y1(0)=0,3   y2(0)=0	0,1	[0;10]
		y1(0)=1   y2(0)=1	0,1	[0;10]

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

 

И ВЫБОР ДЛИНЫ ШАГА

 

Задание и порядок выполнения работы

 

1. Составить программу реализации для ЯМРК-4 с автоматическим выбором длины шага.

2. Решить вариант задачи и построить график для приближенного решения.

3. Вычислить и построить графики для локальной погрешности и изменения длины шага.

4. Провести сравнительный анализ.

Варианты заданий

 

Таблица 3

 

№ п/п	Система уравнений	Начальные условия	Отрезок	Допустимая погрешность
		y1(0)=1,01   y2(0)=3	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=2   y2(0)=0	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=1   y2(0)=4,266	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=0   y2(0)=1   y3(0)=1	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=0,5     y2(0)=0     y3(0)=0     y4(0)=	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=1   y2(0)=1   y3(0)=1   y4(0)=1	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=1   y2(0)=1   y3(0)=1   y4(0)=1	[0;20]	10^-6 10^-9

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

 

Задание и порядок выполнения работы

 

1. Изучить теоретические основы метода.

2. Составить программу реализации для одного из вложенных формул с автоматическим выбором длины шага.

3. Решить вариант задачи и построить график для приближенного решения.

4. Вычислить и построить графики для локальной погрешности и изменения длины шага.

5. Провести сравнительный анализ.

 

Внимание! Варианты заданий выбираются из лабораторной работы № 3

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

 

Таблица 4

 

№ п/п	Формулы	m	p	Ch^p+1
P C				h^2/2   -h^2/2
P C				5h^3/12   -h^3/12
P C				3h^4/8   -h^4/24
P C				251h^5/720     -19h^5/720

 

Из анализа приведенных формул следует, что расчет по ним может быть начат только при m известных значениях , а необходимые находятся по (5.1). Стартовые значения y_j можно вычислить по формулам Рунге-Кутты, согласованным с используемым значением p степени точности. Если для экстраполяционных формул (P) используется явная схема интегрирования, то для интерполяционных (C) необходимо использовать неявную схему, т.е. решение находить итерационно.

Наиболее популярным семейством линейных многошаговых методов являются методы прогноза и коррекции (предиктор – корректор). Суть этих методов состоит в том, что каждый шаг разбивается на два этапа, на которых:

1) по методу предиктор (P) по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное приближение в новом узле;

2) методом корректор (C) с помощью итераций вычисляются следующие итерационные значения

На практике используется два варианта реализации метода прогноза – коррекции. В первом варианте на этапе 2) итерации проводятся до тех пор, пока не достигается сходимости – коррекция до сходимости. Во втором варианте на этапе 2) формула (C) применяется фиксированное число раз (t), а затем полученное принимается за приближение к y(x_k+1). Включив в итерации вычисление правой части , глобальную сходимость процесса проверяем по условию

 

 

где .

Представленные формулы без дополнений можно использовать для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, подразумевая, что вместо одного уравнения, решаются все уравнения системы.

 

Задание и порядок выполнения работы

 

1. Разработать алгоритм реализации явной и неявной схем интегрирования для автономных уравнений и систем уравнений.

2. Для одного из решений задач по методу Рунге-Кутты получить решения, использовав одну из формул (явный и неявный) табл. 4. Решения выдать в виде таблиц и графиков, сопоставить с решением Рунге-Кутты.

3. Для указанного варианта реализовать схему прогноза – коррекции, сопоставить технологию рассмотренных методов и их точность, а также их эффективность.

 

Внимание! Варианты заданий выбираются из предыдущих лабораторных работ

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир,1990.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Численные методы анализа. М.: ГИФМЛ, 1962.

3. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972.

4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. II. М.: Наука, 1966.

5. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений/ Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатт. М.: Изд-во «Мир», 1979.

6. Сборник задач по методам вычислений: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. П.И. Монастырного. М.: Физмат, 1994.

 

 

Михайлов Георгий Сергеевич,

доцент кафедры математического анализа и моделирования АмГУ,

канд. техн. наук;

Саакян Рустам Рафикович,

доцент кафедры математического анализа и моделирования АмГУ,

канд. техн. наук;

Шпехт Ирина Александровна,

доцент кафедры информационных и управляющих систем АмГУ,

канд. техн. наук;

Шутова Елена Ивановна,

ассистент кафедры математического анализа и моделирования АмГУ.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Методическое пособие.

______________________________________________________________________

Изд-во АмГУ. Подписано к печати 22.09.2000. Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 1,4, уч.-изд. л.1,45. Тираж 100. Заказ 57.

АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Факультет математики и информатики

 

 

Г.С. Михайлов, Р.Р. Саакян, И.А. Шпехт, Е.И. Шутова

 

Численные

методы решения

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

 

Методическое пособие

 

Благовещенск

 

	Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета математики и информатики Амурского государственного университета

ББК 22.193

М 69

Г.С. Михайлов, Р.Р. Саакян,

И.А. Шпехт, Е.И. Шутова

 

 

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Методическое пособие. / Благовещенск, Амурский гос. ун-т. 2000.

 

Пособие содержит постановку, краткий анализ методов решения ОДУ и систем ОДУ, набор заданий и последовательность их выполнения.

Предназначено для студентов математических специальностей.

 

 

Рецензенты: А.П. Павлюк, доцент, канд. физ.-мат. наук,

А.В. Бушманов, зав. кафедрой ИУС АмГУ, канд. техн. наук,

 

ã Амурский государственный университет, 2000

В В Е Д Е Н И Е

Методическое руководство к лабораторным работам по численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений предназначено для студентов специальности «Прикладная математика».

Цель методического указания – закрепить теоретические знания студентов о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ЧМР ОДУ), дать им практические навыки ЧМР ОДУ в научно-технических задачах.

В качестве технических средств, применяемых для выполнения лабораторной работы, используются IBM-PC компьютеры, имеющие конфигурацию:

микропроцессор Intel Pentium-100 или аналог,

не менее 8 Mb оперативной памяти,

а также программное обеспечение Microsoft’95 или выше.

Рекомендуемая среда для разработки программного обеспечения –Mathcad, Маtlab и другие математические пакеты.

В описании всех лабораторных работ приведены краткие теоретические сведения, определены задания и порядок выполнения работы, а также даны варианты заданий.

Каждая лабораторная работа складывается из нескольких стадий: подготовка, разработка программы, выполнение расчетов, оформление и сдача отчета по работе.

Подготовка к лабораторной работе предполагает самостоятельную работу студента по овладению навыками практического применения теоретического материала для решения задач на IBM-PC.

Оформление и сдача отчета по лабораторной работе. Каждую лабораторную работу студент оформляет в виде отчета, который должен содержать: краткое теоретическое описание метода, исходные данные по вариантам, текст программы, полученные результаты расчетов в виде таблиц и графиков, выводы по работе.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

 

МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЭЙЛЕРА