Линейные многошаговые методы

Линейные многошаговые методы отличаются от одношаговых методов типа Рунге-Кутты большей экономичностью, так как они требуют вычисления только одного значения правой части на каждом шаге.

Пусть требуется найти на отрезке [x₀,X] решение уравнения

 

(5.1)

 

Предполагая, что известны приближенные значения предыдущих шагов k, т.е. , можно построить то или иное приближенное представление f[x,y(x)] в виде функции, которая легко интегрируется. Пусть это будет . Тогда для приближенного решения в следующем узле k+1 получаем

 

. (5.2)

 

Снова применяя такой прием, продвигаемся еще на один шаг и т.д.

Наиболее простым способом приближенного представления f[x,y(x)] является интерполяция алгебраическими многочленами. Обозначим многочлен L_k,m(x), принимающий в узлах x_k, x_k-1, … x_k-m соответствующие значения f_k, f_k-1, … f_k-m. При этом

 

, (5.3)

 

где P_i(x) не зависит от f_j. Приняв x – x_k = , можно получить

 

, (5.4)

 

где

 

(5.5)

 

постоянные, не зависящие ни от f, ни от k, ни от h. Q_i(t) – многочлен степени m, получающийся из P_i(x) при замене x на t.

Используя различные номера j и различные формы интерполяционного многочлена, получаем различные формулы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Поскольку формулы получаются интегрированием интерполяционного многочлена, проэкстраполированного на отрезке [x_k, x_k+1], они называются экстраполяционными.

Если для построения интерполяционного многочлена, кроме f_k, f_k-1, … f_k-m, использовать еще неизвестное значение f_k+1, то можно получить формулу

 

, (5.6)

 

в обе части которой входит неизвестное y_k+1. Это уравнение чаще всего решают методом итераций. Формулы типа (5.6) называются интерполяционными. Обычно точность экстраполирования бывает меньше точности интерполирования. Поэтому предположительно формулы типа (5.6) будут давать большую точность, чем формулы типа (5.4).

Беря различные j и различные L_k,m(x) будем получать различные формулы. Линейные комбинации этих формул можно записать в виде

 

 

, (5.7)

 

 

где – постоянные, не зависящие ни от y(x), ни от h, Уравнение (5.7) имеет 2m+2 неизвестных . Используя метод неопределенных коэффициентов и разложение по формуле Тейлора до слагаемых с производными порядка p+1, требуем, чтобы после подстановки разложения в (5.7) коэффициенты при h⁰, h¹, …, h^p в обеих частях были равны для произвольной функции y(x). Отсюда получаем

 

Этo система p+1 однородных линейных алгебраических уравнений с 2(m+1) неизвестными Таким образом, максимальное значение степени интерполяционного многочлена p равно 2m.

Приведем для справки наиболее употребительные разностные формулы (5.7) с различными порядком m, степенью p и локальной погрешностью метода R=Ch^p+1.

 

Таблица 4

 

№ п/п	Формулы	m	p	Ch^p+1
P C				h^2/2   -h^2/2
P C				5h^3/12   -h^3/12
P C				3h^4/8   -h^4/24
P C				251h^5/720     -19h^5/720

 

Из анализа приведенных формул следует, что расчет по ним может быть начат только при m известных значениях , а необходимые находятся по (5.1). Стартовые значения y_j можно вычислить по формулам Рунге-Кутты, согласованным с используемым значением p степени точности. Если для экстраполяционных формул (P) используется явная схема интегрирования, то для интерполяционных (C) необходимо использовать неявную схему, т.е. решение находить итерационно.

Наиболее популярным семейством линейных многошаговых методов являются методы прогноза и коррекции (предиктор – корректор). Суть этих методов состоит в том, что каждый шаг разбивается на два этапа, на которых:

1) по методу предиктор (P) по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное приближение в новом узле;

2) методом корректор (C) с помощью итераций вычисляются следующие итерационные значения

На практике используется два варианта реализации метода прогноза – коррекции. В первом варианте на этапе 2) итерации проводятся до тех пор, пока не достигается сходимости – коррекция до сходимости. Во втором варианте на этапе 2) формула (C) применяется фиксированное число раз (t), а затем полученное принимается за приближение к y(x_k+1). Включив в итерации вычисление правой части , глобальную сходимость процесса проверяем по условию

 

 

где .

Представленные формулы без дополнений можно использовать для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, подразумевая, что вместо одного уравнения, решаются все уравнения системы.

 

Задание и порядок выполнения работы

 

1. Разработать алгоритм реализации явной и неявной схем интегрирования для автономных уравнений и систем уравнений.

2. Для одного из решений задач по методу Рунге-Кутты получить решения, использовав одну из формул (явный и неявный) табл. 4. Решения выдать в виде таблиц и графиков, сопоставить с решением Рунге-Кутты.

3. Для указанного варианта реализовать схему прогноза – коррекции, сопоставить технологию рассмотренных методов и их точность, а также их эффективность.

 

Внимание! Варианты заданий выбираются из предыдущих лабораторных работ

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир,1990.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Численные методы анализа. М.: ГИФМЛ, 1962.

3. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972.

4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. II. М.: Наука, 1966.

5. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений/ Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатт. М.: Изд-во «Мир», 1979.

6. Сборник задач по методам вычислений: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. П.И. Монастырного. М.: Физмат, 1994.

 

 

Михайлов Георгий Сергеевич,

доцент кафедры математического анализа и моделирования АмГУ,

канд. техн. наук;

Саакян Рустам Рафикович,

доцент кафедры математического анализа и моделирования АмГУ,

канд. техн. наук;

Шпехт Ирина Александровна,

доцент кафедры информационных и управляющих систем АмГУ,

канд. техн. наук;

Шутова Елена Ивановна,

ассистент кафедры математического анализа и моделирования АмГУ.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Методическое пособие.

______________________________________________________________________

Изд-во АмГУ. Подписано к печати 22.09.2000. Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 1,4, уч.-изд. л.1,45. Тираж 100. Заказ 57.