Практическая оценка погрешности

И ВЫБОР ДЛИНЫ ШАГА

 

Краткие теоретические сведения

 

Э к с т р а п о л я ц и я п о Р и ч а р д с о н у

 

Пусть некоторым методом Рунге-Кутты порядка p в результате выполнения двух шагов h найдено численное значение , а в результате выполнения одного большого шага длины 2h получено значение . Тогда погрешность может быть оценена по формуле

 

, (3.1)

 

а выражение

 

(3.2)

 

аппроксимирует величину с порядком p+1.

Формула (3.1) дает очень простой способ оценки погрешности, а (3.2) позволяет увеличить точность на один порядок.

 

А в т о м а т и ч е с к о е у п р а в л е н и е д л и н о й ш а г а

 

Если начальная длина шага была выбрана равной h, программа выполняет вычисление двух шагов длины h и одного шага длины 2h, как описано выше. Затем на основе формулы (3.1) вычисляется погрешность:

 

(3.3)

 

где - масштабирующий множитель.

Затем величина err сравнивается с заданной величиной допустимой погрешности tol. Если , два вычисленных шага считаются принятыми и решение продолжается, исходя из или (в последнем случае говорят о методе «локальной экстраполяции»), причём в качестве длины нового шага берётся Максимальный коэффициент увеличения шага обычно выбирают между 1,5 и 5. В противном случае оба шага отбрасываются, и вычисления повторяются с новой длиной шага ( рекомендуется выбирать между 0,8 и 1).

 

Задание и порядок выполнения работы

 

1. Составить программу реализации для ЯМРК-4 с автоматическим выбором длины шага.

2. Решить вариант задачи и построить график для приближенного решения.

3. Вычислить и построить графики для локальной погрешности и изменения длины шага.

4. Провести сравнительный анализ.

Варианты заданий

 

Таблица 3

 

№ п/п	Система уравнений	Начальные условия	Отрезок	Допустимая погрешность
		y1(0)=1,01   y2(0)=3	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=2   y2(0)=0	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=1   y2(0)=4,266	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=0   y2(0)=1   y3(0)=1	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=0,5     y2(0)=0     y3(0)=0     y4(0)=	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=1   y2(0)=1   y3(0)=1   y4(0)=1	[0;20]	10^-6 10^-9
		y1(0)=1   y2(0)=1   y3(0)=1   y4(0)=1	[0;20]	10^-6 10^-9

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

 

ВЛОЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ РУНГЕ – КУТТЫ

Краткие теоретические сведения

Идея состоит в том, чтобы вместо пользования экстраполяцией Ричардсона построить такие формулы РК, которые сами содержали бы, кроме численного приближения значения , некоторое выражение более высокого порядка. Последнее могло бы тогда служить для управления погрешностью и длиной шага на каждом шаге. В частности, это удешевило бы выбраковку шагов.

Надо найти такую таблицу коэффициентов

 

0

.... (4.1)

…

…

…

 

чтобы величина

 

(4.2)

имела порядок , а

(4.3)

 

– порядок (обычно или ).

 

Задание и порядок выполнения работы

 

1. Изучить теоретические основы метода.

2. Составить программу реализации для одного из вложенных формул с автоматическим выбором длины шага.

3. Решить вариант задачи и построить график для приближенного решения.

4. Вычислить и построить графики для локальной погрешности и изменения длины шага.

5. Провести сравнительный анализ.

 

Внимание! Варианты заданий выбираются из лабораторной работы № 3

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5