Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример.

Пример 1. Расчет коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда расходов на конечное потребление.

Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление
(, д. е.) за 8 лет (таблица 1).

Таблица 1

Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д. е.

			-3,29	-3,00	9,86	10,7959
			-3,29	-2,00	6,57	10,7959
			-1,29	-2,00	2,57	1,6531
			-0,29	0,00	0,00	0,0816
			0,71	1,00	0,71	0,5102
			2,71	2,00	5,43	7,3673
			4,71	4,00	18,86	22,2245
Итого						53,4286

Разумно предположить, что расходы на конечное потребление в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет.

Определим коэффициент корреляции между рядами и и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов. Добавим в табл. 1 временной ряд .

Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:

.

В качестве переменной мы рассмотрим ряд , в качестве переменной – ряд . Тогда приведенная выше формула примет вид

где

,

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и , т. е. при лаге 1.

Для данных примера 1 соотношения (2) составят:

,

.

Используя формулу (1), получаем коэффициент автокорреляции первого порядка:

.

Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейной тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле

,

где

,

Для данных из примера 1 получим:

,

Построим табл. 2.

Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Подставив полученные значения в формулу (3), имеем:

.

 

Таблица 2

Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д. е.

			-3,83	-2,33	8,9444	14,6944	5,4444
			-1,83	-1,33	2,4444	3,3611	1,7778
			-0,83	-1,33	1,1111	0,6944	1,7778
			0,17	0,67	0,1111	0,0278	0,4444
			2,17	1,67	3,6111	4,6944	2,7778
			4,17	2,67	11,1111	17,3611	7,1111
Итого				-4E-15	27,3333	40,8333	19,3333

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты () и циклической (сезонной) компоненты ().

Временной ряд расходов на конечное потребление, рассмотренный нами в примере 1, содержит только тенденцию, так как коэффициенты автокорреляции его уровней высокие.

Пример 2 Автокорреляционная функция и выявление структуры ряда.

Пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов (табл. 3).

Таблица 3

Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт ч

	6,0
	4,4	6,0
	5,0	4,4	6,0
	9,0	5,0	4,4	6,0
	7,2	9,0	5,0	4,4	6,0
	4,8	7,2	9,0	5,0	4,4
	6,0	4,8	7,2	9,0	5,0
	10,0	6,0	4,8	7,2	9,0
	8,0	10,0	6,0	4,8	7,2
	5,6	8,0	10,0	6,0	4,8
	6,4	5,6	8,0	10,0	6,0
	11,0	6,4	5,6	8,0	10,0
	9,0	11,0	6,4	5,6	8,0
	6,6	9,0	11,0	6,4	5,6
	7,0	6,6	9,0	11,0	6,4
	10,8	7,0	6,6	9,0	11,0

Нанесем эти значения на график:

Определим коэффициент корреляции первого порядка. Он составит: . Отметим, что расчет этого коэффициента производился по 15, а не по 16 парам наблюдений. Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней. Однако, как следует из графика, структура этого ряда такова, что каждый следующий уровень зависит от уровня и в гораздо большей степени, чем от уровня . Рассчитаем коэффициенты автокорреляции до порядка 8. Получим автокорреляционную функцию этого ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таблице 4.

Таблица 4

Коррелограмма временного ряда потребления электроэнергии

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней	Коррелограмма
	0,165154	**
	0,566873	*******
	0,113558	*
	0,983025	************
	0,118711	*
	0,722046	*********
	0,003367
	0,973848	************

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. график).

Аналогично, если, например, при анализе временного ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней второго порядка, ряд одержит циклические колебания в два периода времени, т.е. имеет пилообразную структуру.