Пересечение пирамиды с параллелограммом

На рис. 9 представлено решение задачи двумя способами.

Проведя вспомогательные фронтально – проецирующие секущие плоскости a₁¢¢, a₂¢¢, a₃¢¢, находим точки P, K, M, Q фигуры сечения первым способом, который подробно рассмотрен на примере пересечения призмы с треугольником (см. рис. 6).

Рассмотрим второй способ решения задачи.

Этот способ заключается в последовательном многократном решении задачи на построение линии пересечения двух плоскостей, которыми в данном случае являются плоскость параллелограмма и поочередно грани пирамиды (рис.9).

Решение основано на использовании вспомогательных секущих плоскостей, которые обязательно должны быть либо проецирующими, либо плоскостями уровня и пересекать обе заданные фигуры. На рис. 9 такими плоскостями являются плоскости b₁ и b₂. Это горизонтальные плоскости уровня (b₁ и b₂ параллельны оси ОХ и, следовательно, параллельны плоскости p₁), одновременно пересекающие параллелограмм и грани пирамиды.

Построим линию пересечения параллелограмма EE ₁ D ₁ D и одной из граней пирамиды, например ACS. Для этого выполним следующие действия:

1) проведем вспомогательную плоскость b₁¢¢ и тем же способом, что и при решении задачи на пересечение призмы с треугольником (см. рис. 6), найдем фронтальную проекцию линии пересечения этой плоскости с параллелограммом l ₁¢¢, проходящую через точки a ¢¢ и a ₁¢¢, и проекцию l ₂¢¢ линии пересечения плоскости с гранью пирамиды A ¢¢ C ¢¢ S ¢¢;

2) построим горизонтальные проекции этих линий пересечения l ₁¢ и l ₂¢;

3) на пересечении горизонтальных проекций l ₁¢ и l ₂¢ находим горизонтальную проекцию точки, принадлежащей одновременно плоскости параллелограмма и плоскости, ограниченной гранью пирамиды ASC. Обозначим эту точку R¢ и, проведя от нее линию связи до пересечения с b₁¢¢, найдем ее фронтальную проекцию R ¢¢;

4) аналогичным путем проведем плоскость b₂¢¢,найдем горизонтальные проекции линий l ₃¢, l ₄¢ на пересечении которых получим горизонтальную проекцию второй общей точки N ¢, а затем, проведя линию связи до пересечения с b₂¢¢, и фронтальную ее проекцию N ¢¢;

5) соединив точки R и N между собой, получим прямую RN, которая будет линией пересечения двух плоскостей – грани ASC и параллелограмма EE ₁ D ₁ D, так как имеет две общие точки, через которые можно провести только одну прямую. На рис.9 видно, что прямая RN полностью совпадает с прямой KM, полученной по методу пересечения прямой с плоскостью;

6) повторив ту же последовательность действий с использованием граней ABS и BSC, получим линии пересечения этих граней пирамиды с параллелограммом, совпадающие соответственно с линиями KP и MQ.

Следовательно, независимо от метода решения задачи мы получаем один и тот же результат.

Таким образом, фигуру сечения PKMQ можно получить, используя проецирующие плоскости a₁¢¢, a₂¢¢, a₃¢¢ или плоскости уровня b₁¢¢, b₂¢¢.

Пример оформления расчётно-графической работы приведён на рис. 11.

Определение видимости взаимного пересечения многогранника

И плоскости

При определении видимости фигур выбираются несколько пар скрещивающихся прямых. В каждой паре одна из прямых должна принадлежать одной фигуре, например, многограннику, другая прямая – второй фигуре, т.е. плоскости.

Например, на рис.6 для определения видимости на фронтальной плоскости проекций рассматриваем скрещивающиеся прямые A¢¢C¢¢ и F¢¢F ₁ ¢¢, используя конкурирующие точки 1¢¢ и 6¢¢. Проведем линии связи из этих точек на p₁, где видно, что по направлению взгляда перпендикулярно p₂ точка 1¢, принадлежащая прямой F¢F ₁ ¢, находится ближе к наблюдателю, чем точка 6¢, принадлежащая прямой А¢С¢. Это значит, что прямая F¢¢F ₁ ¢¢ будет на плоскости p₂ изображаться как видимая (сплошной толстой линией), а прямая А¢¢С¢¢ в этом месте – невидимая (штриховой линией).

Аналогично для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций рассматриваем скрещивающиеся прямые A¢C¢ и F¢F ₁ ¢, используя конкурирующие точки 7¢ и 8¢. Проведем тонкую линию связи из этих точек на p₂, где видно, что по направлению взгляда перпендикулярно p₁ точка 8¢¢, принадлежащая прямой F¢¢F ₁ ¢¢, лежит выше, чем точка 7¢¢, принадлежащая прямой А¢¢С¢¢. Следовательно, в этом месте на плоскости p₁ прямая F¢F ₁ ¢ проходит над прямой А¢С¢, т.е. она видимая и будет изображаться основной сплошной толстой линией, а прямая А¢С¢ – невидимая и будет изображаться штриховой линией.

Таким образом, применяя конкурирующие точки, у которых одна пара проекций совпадает, а другая – нет, можно определить видимость фигур в любом месте чертежа (см.рис.9).

Следует помнить, что до решения задачи необходимо определить видимость ребер многогранника, а в конце решения – видимость фигуры сечения и плоскости (треугольника или параллелограмма) вместе и с учетом этого закрасить видимую часть заданной плоскости.

Пример оформления расчётно-графической работы на рис. 11.

Рис. 9.