G. 3.7. Подходы Лагранжа и Эйлера. Другие тензоры деформаций

Не всегда удобно пользоваться функцией ; иногда принимают обратную ; очевидно, что оператор этой функции (назовем его В) обратен аффинору А и сам является аффинором

, . (3.22)

Использование в качестве независимого переменного характеристик текущего (деформированного) состояния отличает подход Эйлера; он особенно удобен при анализе течения жидкостей. Первый подход, более широко используемый в механике твердых тел, связывают с именем Лагранжа.

Как отмечалось, изометрическое деформирование, при котором все длины и углы неизменны, то есть деформирование отсутствует, характеризуется неизменностью скалярного произведения двух произвольных волокон:

,

или

(3.23)

Тензоры А и В в этом случае ортогональны, .

Если деформация происходит, то тензоры и не являются единичными, их отличие от единицы характеризует степень деформирования, поэтому вводят тензоры

первый называют тензором деформаций Грина-Лагранжа, второй – тензором деформаций Коши. Они обычно ассоциируются с выражениями для квадрата длины волокна:

Если деформации малы, то не очень информативно сравнение квадратов длин в начальном и конечном состоянии волокна; удобнее анализировать их разность. Поэтому вводят тензоры

(3.24)

– лагранжев тензор бесконечно малых деформаций (это термин: смысл его не обсуждается) и

(3.25)

– тензор деформаций Альманси-Эйлера. Эти тензоры используются в уравнениях

. (3.26)

Любой из введенных тензоров G, C, дает всю необходимую информацию о деформированном состоянии, хотя вычислить по ним линейные и угловые деформации не очень просто. Это неудобство частично компенсируется тем, что не возникает проблема факторизации: перемножение и аннулирует жесткий поворот.

3.8. Тензор малых деформаций.

Теорию деформаций можно рассматривать как обобщение известного опре-деления e=Dl/l₀ , в котором Dlºl – l₀ , где l₀, l – длина некоторого материального волокна в начальном (недеформированном) и в текущем (деформированном) состояниях, e – линейная деформация этого волокна. Запишем это выражение по-другому:

Dl º l – l₀=e × l₀. (3.27)

Если рассматривать l₀ как аргумент, а Dl – как функцию, то в выражении (3.27) можно увидеть линейную зависимость Dl(l₀) для произвольно выбираемых длин l₀. Оператором этой зависимости является деформация.

Обобщение состоит в том, что аргументом считается вектор l ₀, характеризующий не только длину, но и направление волокна в малой окрестности рассматриваемой точки тела, а функцией является вектор разности

D l º l – l ₀=D l (l ₀) (3.28)

(l – вектор, характеризующий текущие длину и направление того же волокна). Этот вектор определяет не только изменение длины, но и поворот волокна, который в начальном состоянии характеризовался вектором l ₀ (рис.3.4). На рисунке показаны две материальные точки – в недеформированном (A,B) и в деформированном (A¢,B¢) состояниях. Ниже показано “изменение” волокна (рис. 3.4). На рисунке величина D l утрирована; в действительности деформация и поворот обычно весьма малы. Гипотетически их считают бесконечно малыми, тогда проекция D l на направление l ₀ (скалярное произведение D l× n, где n – единичный вектор вдоль l ₀) определяет деформацию волокна, а проекция на вектор t, ортогональный n – угол поворота j:

D l n =e l₀, D l × t =j l₀. (3.29)

Исходя из обычных соображений дифференцируемости полей смещений доказывают, что для бесконечно коротких волокон l ₀ функция (3.27) линейна. Это означает, что если взять вдвое более длинное волокно, то и его изменение будет вдвое большим. Поэтому достаточно рассмотреть волокна определенной длины – например, единичной. В частности, изменение D n единичноговолокна n (рис.9.8) при проецировании на оси n и t сразу определяет те же, что и в (3.28) деформацию и поворот:

(D n)× n =e, (D n)× t =j. (3.28')

Естественно, что для различно ориентированных волокон эти величины различны. Если в окрестности интересующей нас точки тела рассмотреть пучок единичных волокон с общим началом, то их концы лягут на окружность (мы пока ограничимся деформированием в одной плоскости) радиуса 1. Из линейности функции (3.27) следует, что в деформированном состоянии начало этих волокон перейдет, возможно, в новую точку, а концы образуют эллипс (рис.3.5). Полуоси эллипса показывают, какие волокна получили наибольшую и наименьшую деформации и каковы именно эти значе-ия (e₁,e₂). Эти направления и деформации называют главными.

Введем декартовы координаты x, y и будем отображать векторы матрица- ми-столбцами координат (например, n ® [ n_x, n_y ] ^T ). Тогда функция (3.27), как и всякая линейная вектор-функция вектора, отобразится матрицей

(3.27')

Матрицу D называют матрицей дисторсии. Полученное выражение, с одной и той же матрицей дисторсии, справедливо для любых (бесконечно коротких) векторов l ₀ в окрестности рассматриваемой точки тела. В частности, для единичного волокна вдоль оси x (вектор i, координаты: 1, 0) получим

[ Di ]=[ D ] .

Из рис.3.6 видно, что первая проекция вектора Di, – D_xx – представляет деформа-цию волокна i, а вторая – поворот (в направлении оси y, то есть против часовой стрелки). Аналогично, второй столбец матрицы дисторсии представляет поворот единичного волокна j в направлении оси x (то есть по часовой стрелке) и деформацию этого волокна (рис. 3.6). Таким образом, зная изменение всего двух волокон, мы имеем всю матрицу дисторсии и возможность найти изменения любых волокон из выражения (3.27¢).