E. 3.5. Лабораторная система отсчета s и e

A. 3.1. Тензор напряжений

Итак, дано тело произвольных размеров и формы; известно, что оно неподвижно но и нагружено внешними силами так, что во всех его элементарных объемах на одинаковых площадках действуют одинаковые силы. Такое напряженное состояние тела называют однородным. Для рассмотрения напряжений в нем можно выбрать любую его часть любой формы и размера. Исследуется статическая сторона явления: удобно считать тело твердым, хотя анализ справедлив для любой Среды. Ключом к рассмотрению является известный метод сечений.

Напомним, что напряжением называют интенсивность силы, передающейся через некоторую площадку (с единичной нормалью ) от одной части тела к другой, отделенной мысленно этой площадкой. Однородность означает, что вектор (интенсивность силы, распределенной по площади, измеряемая в Паскалях) зависит только от ориентации площадки . По третьему закону Ньютона на площадке с нормалью – (обычно рассматривается наружная нормаль) напряжение равно – . Через точку тела можно провести бесчисленное множество площадок; напряжения на них также представляют бесчисленное множество векторов, но эти множество, как увидим ниже, упорядочено.

Чтобы выделить полностью часть тела, минимально требуется провести четыре сечения, получив тем самым четырехгранник с наружными нормалями . Силы, действующие по этим граням, находятся умножением напряжений (постоянных на каждой грани) по площади граней . Из геометрических соображений следует, что эти площади связаны между собой и достаточно знать , чтобы, по нормалям найти все (в разделе 4 будет показано, что для любого многогранника сумма равна нулю).

Неподвижность тела при действии этих сил требует, чтобы суммарная сила была равна нулю

(i=1…4).

Таким образом, достаточно знать три напряжения на каких-либо трех площадках чтобы найти четвертое:

(3.1)

Как видим, вектор представляет линейную форму трех векторов , коэффициенты которой зависят только от векторов .

Варьируя положение четвертой площадки, найдем напряжения на всех площадках. Следовательно, напряженное состояние однозначно определяется векторами и (i=1…3).

Удобнее всего для этой цели использовать три ортогональные площадки, обозначим их нормали (они послужат ортами декартова базиса), четвертую – просто , ее площадь – S. Легко установить, что

(например, из упомянутого выше условия ), и выражение (3.1) примет вид

, i=1…3 (3.2)

Объект , представляющий, как мы знаем, двухвалентный тензор, обозначают s и называют тензором напряжений. Выражение (3.2) показывает смысл этого тензора: его проекция на нормаль к любой площадке определяет напряжение на этой площадке. В частности, это относится и к площадкам (). Таким образом, напряжение на площадке представляет линейную функцию с оператором s. Столбцами матрицы s являются векторы и, таким образом, – касательное напряжение на второй, а не на первой площадке.

При получении тензора s мы использовали лишь одно условие равновесия (по силам); в действительности их два. Второе условие – по моментам – запишем для куба со стороной а. Пара сил на площадках и создают момент , аналогично найдутся еще два; сумма моментов должна быть равна нулю. Отсюда

,

то есть тензор s симметричен. В сопротивлении материалов это условие называют законом парности касательных напряжений (s₁₂=s₂₁, s₁₃=s₃₁, s₂₃=s₃₂).

Простейшее напряженное состояние – одноосное, когда тензор s сводится к диаде

, (3.3)

ранг его равен единице. Нетрудно видеть, что ранг матриц

, ,

равен единице, значит, все они представляют координаты тензора (3.3) в различных декартовых базисах. Векторы на любых площадках коллинеарны.

Плоскому напряженному состоянию отвечают тензоры второго ранга; они приводятся к виду

(3.4)

l_i – главные напряжения (вместе с l=0),

– главные направления тензора.

В механике жидкостей наиболее популярно шаровое напряженное состояние , величину l, обычно положительную, обозначают p и называют давлением. Из простейших состояний можно еще упомянуть чистый сдвиг (, , плоское напряженное состояние) и цилиндрическое ().

 

B. 3.2. Тензор дисторсии

При рассмотрении геометрической стороны той же ситуации (однородное деформированное состояние некоторого тела) первая трудность связана с необходимостью включить в поле зрения, кроме текущего, начальное, недеформированное состояние. Нам придется ввести в рассмотрение понятие материального волокна (это совокупность материальных точек среды, лежащих на некоторой линии). Нам достаточно будет иметь дело с прямыми волокнами; их удобно отображать векторами, характеризующими длину и направления волокна. Если начальное положение волокна отражается вектором , то конечное будем обозначать .

Однородность деформированного состояния означает, что если в начальном состоянии тело представить совокупностью одинаковых параллелепипедов (кирпичиков), то в деформированном состоянии все кирпичики деформированы одинаково, грани кирпичиков остаются плоскими. Следовательно, все материальные плоскости (совокупность материальных точек или волокон, лежащих в одной плоскости) в процессе деформирования остаются плоскими; равноотстоящие множества параллельных плоскостей остаются равноотстоящими множествами плоскостей.

Таким образом, все бесконечное множество начальных волокон, которым отвечает некоторый один вектор , переходит в множество деформированных волокон, которым отвечает один вектор (рис. 3.1.). То же относится и ко всем волокнам , переходящим в . Иначе говоря, существует функция

; (3.5)

она характеризует данное однородное деформированное состояние тела.

На рис. 3.1 показано одно из свойств этой функции. Треугольник АВС переходит в новое положение ; его стороны – в ; нетрудно заметить, что , и, таким образом,

,

функция суммы равна сумме функций. Нетрудно заметить и другое свойство :

.

Следовательно, функция при однородном деформированном состоянии линейна; она может быть описана с помощью тензора А, называемого просто аффинором

. (3.6)

Заметим, что и при неоднородном деформированном состоянии волокна переходят в положения , но второе условие линейности функции не выполняется. Кроме того, разные волокна, имеющие в начальном состоянии одинаковое положение , в деформированном состоянии имеют различные положения и функция (3.5) теряет смысл.

В твердых телах деформации обычно довольно малы, волокна и сопоставимы и более информативна разница между этими волокнами

. (3.7)

Как следует из выражения (6), изменение волокна представляет также линейную функцию его начального положения

(3.8)

(3.9)

Тензор D зависимости называют тензором дисторсии.

 

C. 3.3. Изометрическое преобразование

Другая сложность при изучении характеристик деформированного состояния связана с тем, что деформации могут отсутствовать при ненулевом аффиноре (и ненулевой дисторсии): тело может просто повернуться на некоторый угол j вокруг некоторой оси . В п.2 мы рассматривали такое преобразование ; аффинор при этом имел вид

Особенность жесткого поворота в том, что для любых двух волокон справедливо равенство

;

такое преобразование называют еще изотермическим (длины и углы остаются прежними!). Отсюда

,

т.е.

– это свойство ортогональных тензоров, обращающихся транспонированием (при обращении поворот на угол j преобразуется в поворот вокруг той же оси на угол –j. Проекция ортогональных тензоров на оси декартовой системы координат представляют орты другой декартовой системы координат, однако тензором жесткого поворота может быть лишь такой ортогональный тензор, определитель которого равен 1: правизна базиса при повороте не меняется.

При малом повороте, когда , , тензор оказывается равным , тензор дисторсии – кососимметричен.

 

D. 3.4. Тензор деформации

Рассмотрим другой частный случай: тензор А симметричен, симметричен и тензор дисторсии. Будем их обозначать в этом случае и

, (3.10)

тензор e назовем тензором деформации (в механике рассматривают и другие тензоры, называемые также тензорами деформации). Как и любой симметричный тензор, тензор e имеет три главных направления

, (3.11)

эти направления совпадают с главными направлениями аффинора

. (3.12)

В случае одноосной деформации преобразование (3.8) принимает вид

. (3.13)

На рис. 3.2 штриховой линией показана совокупность начальных положений единичных волокон; эллипс – положения концов этих волокон после деформирования; начала волокон считаются неподвижными. Смещение концов всех волокон, как видно из выражения (13), параллельны оси . Волокна ортогональные не деформируются и не поворачиваются; волокна, параллельные , удлиняются; их относительное удлинение () равно . Остальные волокна и удлиняются, и поворачиваются. Стержень с осью вытягивается, удлиняется , поперечные сечения остаются плоскими, поперечными, недеформированными.

В случае плоской деформации

,

если главные деформации имеют одинаковые знаки, недеформированными остаются лишь волокна, ортогональные плоскости . Круг в этой плоскости также превращается в эллипс с главными осями . Если , то круг остается кругом и волокна в плоскости не поворачиваются.

В отличии от тензора деформации, ранг аффинора всегда равен 3 и его главные значения положительны. Определитель представляет отношение нового объема тела к начальному и равен .

 

I. 3.10.1. Изотропное тело

Тензор - набор квадриад - должен быть таким, чтобы ни одно из направлений не было выделено или, наоборот, отделено. Иначе говоря, при построении тензора можно использовать только изотропный строительный материал.

Довольно просто убедиться, что нет ничего изотропного кроме единичного тензора (или шарового ). На первый взгляд, здесь выделены три направления , но мы знаем, что в другом декартовом базисе тензор имеет те же координаты (). Тензор - тоже изотропный - не обладает симметрией.

Из этого материала можно получить три тензора

причем первый из них - нужной симметрии, а два другие несимметричны. В этом легко убедиться, умножая на произвольный тензор

Поскольку тензор произволен, ответ не симметричен, что не отвечает требованию (3.30).

Зато симметричен тензор

который выделяет из тензора симметричную часть

Для симметричных тензоров - тензор тождественного преобразования.

Итого - всего-то 2 тензора!

Подставив в 3Г, получим

. (3.33)

На первую часть деформация влияет не так, как на девиатор! Две разные константы.

С уравнением (3.33) еще можно работать, но дальше будет труднее (для анизотропных сред). Поэтому попробуем чуть упростить. Вместо тензоров , выбрать другой тензорный базис

(3.34)

который, как можно показать (а мы в этом просто убедимся) удовлетворяет условию

.

Исходя из требования (3.34), быстро находим

И убеждаемся:

Закон Гука сейчас принимает более простой, на наш взгляд, вид:

Этот вид хорош тем, что легко обращается (попробуйте получить тензор ):

позволяет легко вычислять работу

и вообще удобен.

А что в ?

Нетрудно установить:

– проецирующий тензор,

,

– тоже проецирующий,

Из закона Гука следует, что в пространстве нет изотропных направлений ( – независимо от направления ).

 

A. 3.1. Тензор напряжений

Итак, дано тело произвольных размеров и формы; известно, что оно неподвижно но и нагружено внешними силами так, что во всех его элементарных объемах на одинаковых площадках действуют одинаковые силы. Такое напряженное состояние тела называют однородным. Для рассмотрения напряжений в нем можно выбрать любую его часть любой формы и размера. Исследуется статическая сторона явления: удобно считать тело твердым, хотя анализ справедлив для любой Среды. Ключом к рассмотрению является известный метод сечений.

Напомним, что напряжением называют интенсивность силы, передающейся через некоторую площадку (с единичной нормалью ) от одной части тела к другой, отделенной мысленно этой площадкой. Однородность означает, что вектор (интенсивность силы, распределенной по площади, измеряемая в Паскалях) зависит только от ориентации площадки . По третьему закону Ньютона на площадке с нормалью – (обычно рассматривается наружная нормаль) напряжение равно – . Через точку тела можно провести бесчисленное множество площадок; напряжения на них также представляют бесчисленное множество векторов, но эти множество, как увидим ниже, упорядочено.

Чтобы выделить полностью часть тела, минимально требуется провести четыре сечения, получив тем самым четырехгранник с наружными нормалями . Силы, действующие по этим граням, находятся умножением напряжений (постоянных на каждой грани) по площади граней . Из геометрических соображений следует, что эти площади связаны между собой и достаточно знать , чтобы, по нормалям найти все (в разделе 4 будет показано, что для любого многогранника сумма равна нулю).

Неподвижность тела при действии этих сил требует, чтобы суммарная сила была равна нулю

(i=1…4).

Таким образом, достаточно знать три напряжения на каких-либо трех площадках чтобы найти четвертое:

(3.1)

Как видим, вектор представляет линейную форму трех векторов , коэффициенты которой зависят только от векторов .

Варьируя положение четвертой площадки, найдем напряжения на всех площадках. Следовательно, напряженное состояние однозначно определяется векторами и (i=1…3).

Удобнее всего для этой цели использовать три ортогональные площадки, обозначим их нормали (они послужат ортами декартова базиса), четвертую – просто , ее площадь – S. Легко установить, что

(например, из упомянутого выше условия ), и выражение (3.1) примет вид

, i=1…3 (3.2)

Объект , представляющий, как мы знаем, двухвалентный тензор, обозначают s и называют тензором напряжений. Выражение (3.2) показывает смысл этого тензора: его проекция на нормаль к любой площадке определяет напряжение на этой площадке. В частности, это относится и к площадкам (). Таким образом, напряжение на площадке представляет линейную функцию с оператором s. Столбцами матрицы s являются векторы и, таким образом, – касательное напряжение на второй, а не на первой площадке.

При получении тензора s мы использовали лишь одно условие равновесия (по силам); в действительности их два. Второе условие – по моментам – запишем для куба со стороной а. Пара сил на площадках и создают момент , аналогично найдутся еще два; сумма моментов должна быть равна нулю. Отсюда

,

то есть тензор s симметричен. В сопротивлении материалов это условие называют законом парности касательных напряжений (s₁₂=s₂₁, s₁₃=s₃₁, s₂₃=s₃₂).

Простейшее напряженное состояние – одноосное, когда тензор s сводится к диаде

, (3.3)

ранг его равен единице. Нетрудно видеть, что ранг матриц

, ,

равен единице, значит, все они представляют координаты тензора (3.3) в различных декартовых базисах. Векторы на любых площадках коллинеарны.

Плоскому напряженному состоянию отвечают тензоры второго ранга; они приводятся к виду

(3.4)

l_i – главные напряжения (вместе с l=0),

– главные направления тензора.

В механике жидкостей наиболее популярно шаровое напряженное состояние , величину l, обычно положительную, обозначают p и называют давлением. Из простейших состояний можно еще упомянуть чистый сдвиг (, , плоское напряженное состояние) и цилиндрическое ().

 

B. 3.2. Тензор дисторсии

При рассмотрении геометрической стороны той же ситуации (однородное деформированное состояние некоторого тела) первая трудность связана с необходимостью включить в поле зрения, кроме текущего, начальное, недеформированное состояние. Нам придется ввести в рассмотрение понятие материального волокна (это совокупность материальных точек среды, лежащих на некоторой линии). Нам достаточно будет иметь дело с прямыми волокнами; их удобно отображать векторами, характеризующими длину и направления волокна. Если начальное положение волокна отражается вектором , то конечное будем обозначать .

Однородность деформированного состояния означает, что если в начальном состоянии тело представить совокупностью одинаковых параллелепипедов (кирпичиков), то в деформированном состоянии все кирпичики деформированы одинаково, грани кирпичиков остаются плоскими. Следовательно, все материальные плоскости (совокупность материальных точек или волокон, лежащих в одной плоскости) в процессе деформирования остаются плоскими; равноотстоящие множества параллельных плоскостей остаются равноотстоящими множествами плоскостей.

Таким образом, все бесконечное множество начальных волокон, которым отвечает некоторый один вектор , переходит в множество деформированных волокон, которым отвечает один вектор (рис. 3.1.). То же относится и ко всем волокнам , переходящим в . Иначе говоря, существует функция

; (3.5)

она характеризует данное однородное деформированное состояние тела.

На рис. 3.1 показано одно из свойств этой функции. Треугольник АВС переходит в новое положение ; его стороны – в ; нетрудно заметить, что , и, таким образом,

,

функция суммы равна сумме функций. Нетрудно заметить и другое свойство :

.

Следовательно, функция при однородном деформированном состоянии линейна; она может быть описана с помощью тензора А, называемого просто аффинором

. (3.6)

Заметим, что и при неоднородном деформированном состоянии волокна переходят в положения , но второе условие линейности функции не выполняется. Кроме того, разные волокна, имеющие в начальном состоянии одинаковое положение , в деформированном состоянии имеют различные положения и функция (3.5) теряет смысл.

В твердых телах деформации обычно довольно малы, волокна и сопоставимы и более информативна разница между этими волокнами

. (3.7)

Как следует из выражения (6), изменение волокна представляет также линейную функцию его начального положения

(3.8)

(3.9)

Тензор D зависимости называют тензором дисторсии.

 

C. 3.3. Изометрическое преобразование

Другая сложность при изучении характеристик деформированного состояния связана с тем, что деформации могут отсутствовать при ненулевом аффиноре (и ненулевой дисторсии): тело может просто повернуться на некоторый угол j вокруг некоторой оси . В п.2 мы рассматривали такое преобразование ; аффинор при этом имел вид

Особенность жесткого поворота в том, что для любых двух волокон справедливо равенство

;

такое преобразование называют еще изотермическим (длины и углы остаются прежними!). Отсюда

,

т.е.

– это свойство ортогональных тензоров, обращающихся транспонированием (при обращении поворот на угол j преобразуется в поворот вокруг той же оси на угол –j. Проекция ортогональных тензоров на оси декартовой системы координат представляют орты другой декартовой системы координат, однако тензором жесткого поворота может быть лишь такой ортогональный тензор, определитель которого равен 1: правизна базиса при повороте не меняется.

При малом повороте, когда , , тензор оказывается равным , тензор дисторсии – кососимметричен.

 

D. 3.4. Тензор деформации

Рассмотрим другой частный случай: тензор А симметричен, симметричен и тензор дисторсии. Будем их обозначать в этом случае и

, (3.10)

тензор e назовем тензором деформации (в механике рассматривают и другие тензоры, называемые также тензорами деформации). Как и любой симметричный тензор, тензор e имеет три главных направления

, (3.11)

эти направления совпадают с главными направлениями аффинора

. (3.12)

В случае одноосной деформации преобразование (3.8) принимает вид

. (3.13)

На рис. 3.2 штриховой линией показана совокупность начальных положений единичных волокон; эллипс – положения концов этих волокон после деформирования; начала волокон считаются неподвижными. Смещение концов всех волокон, как видно из выражения (13), параллельны оси . Волокна ортогональные не деформируются и не поворачиваются; волокна, параллельные , удлиняются; их относительное удлинение () равно . Остальные волокна и удлиняются, и поворачиваются. Стержень с осью вытягивается, удлиняется , поперечные сечения остаются плоскими, поперечными, недеформированными.

В случае плоской деформации

,

если главные деформации имеют одинаковые знаки, недеформированными остаются лишь волокна, ортогональные плоскости . Круг в этой плоскости также превращается в эллипс с главными осями . Если , то круг остается кругом и волокна в плоскости не поворачиваются.

В отличии от тензора деформации, ранг аффинора всегда равен 3 и его главные значения положительны. Определитель представляет отношение нового объема тела к начальному и равен .

 

E. 3.5. Лабораторная система отсчета s и e

В общем случае аффинор А не симметричен и не ортогонален. Сфера преобразуется в эллипсоид, но главные оси эллипсоида не являются главными направлениями аффинора. Происходит и деформирование тела, и его поворот.

О “физической” стороне дела будет сказано ниже, но сейчас полезно отметить, что деформацию инициирует тензор напряжений, тогда как поворот не требует усилий; он связан лишь с условиями закрепления тела. Поэтому при записи “физических ” соотношений используют термины “напряжения” и “деформации”, оставляя в стороне поворот. Отсюда следует необходимость решения задачи: как, зная тензор А, определить тензор e.

Любое преобразование можно рассматривать как совокупность нескольких преобразований. Например, если , , то ; аффинор представляет произведение двух аффиноров. Разбиение на два не означает, что сначала произошло деформирование В, затем С; просто это могло произойти в такой последовательности. Если одно из движений (В или С) представляло жесткий поворот, то с точки зрения физических особенностей процесса не важно, был ли поворот после деформирования или в процессе деформирования: поворот на процесс не влияет. Возможно разложение и на большее число движений, но практический смысл имеет только такое разложение: деформация без поворота и поворот без деформации.

Итак, имея тензор А, можно представить два варианта развития событий:

(3.14)

(деформация, затем поворот) или, наоборот,

(3.15)