H. 3. 10 простейшие модели физических (механических) свойств среды. Закон гука

Механика, как отмечалось, объединяет три стороны: геометрия (движение), динамика (силы) и “физика” - свойства сред. В разделе II для простейшего случая Однородного НДС рассмотрены две стороны; сейчас, для того же однородного НДС познакомимся с “физикой”, характеризующей связь между напряжениями и деформациями тела (а через эту связь определяется и связь между силами и смещениями среды).

Классической основой для рассмотрения “физики” является закон Гука. Естественно, это идеализация (как и другие модели свойств); это следует иметь в виду, когда мы будем сталкиваться с какими-либо несоответствиями физическим наблюдениям или даже очевидности.

Записать закон линейной связи между тензорами напряжений и деформаций значительно проще, чем в нем разобраться. Начнем с легкого:

.

Обратим внимание, что если и - переменные, то - константа (в этом выражении); по-отдельности и могут быть произвольными, зависит от свойств среды и представляет константу материала. Она не зависит от того, будем ли мы нагружать тело, или нет.

Из тензорного анализа закона Гука видим, что - четырехвалентный тензор. Из анализа размерностей следует, что он измеряется в паскалях. Из симметрии следует, что он симметричен по первой паре векторов квадриад

. (3.30)

Из симметрии следует, что кососимметричная по второй паре векторов квадриад не участвует “в работе” и может быть исключена из , тогда он станет симметричным и по второй паре

. (3.31)

Таким образом, из 81 квадриады, составляющей произвольный четырехвалентный тензор, независимых оказывается не более 36.

 

В действительности их всегда еще меньше! Но это связано с одним очень важным свойством самой Среды (с “физикой”): с законом сохранения энергии, который, если задать тензор наугад, скорее всего не будет выполняться.

Доказательство отложим до тензорного анализа, а пока - результат:

. (3.32)

Заметим, что если (3.31) мы принимаем для собственного удобства, то сейчас это условие будет выполняться неизбежно, как следствие (3.30) и (3.32).

Итого, если посчитать, остается “только” 21 константа упругости, которыми один упругий материал может отличаться от других.

Если вспомнить пространство напряжений и деформаций , то там закон Гука имеет, очевидно, вид

и у тензора координат. При этом симметрии (3.30), (3.31) здесь учтены автоматически: умножаем на вектор (отвечающий симметричному тензору ) и получаем вектор , т.е. отвечающий симметричному тензору ().

Симметрия (3.32) здесь отображается симметричностью тензора : . Отсюда также следует, что независимых координат (констант упругости) у тензора только .

Но еще довольно много констант! Дело, правда, не настолько печально. В действительности мы почти всегда имеем дело с материалами, свойства которых характеризуются определенной пространственной симметрией. Если из куска металла вырезать образцы разных ориентаций, то их испытания обычно показывают одинаковые свойства. Говорят: металл изотропен. Реакция металла на симметричное воздействие - например, растяжение - должно дать симметричную реакцию. Это накладывает довольно сильные ограничения на тензор (или ). Рассмотрим несколько типичных случаев пространственной симметрии механических свойств.

 

I. 3.10.1. Изотропное тело

Тензор - набор квадриад - должен быть таким, чтобы ни одно из направлений не было выделено или, наоборот, отделено. Иначе говоря, при построении тензора можно использовать только изотропный строительный материал.

Довольно просто убедиться, что нет ничего изотропного кроме единичного тензора (или шарового ). На первый взгляд, здесь выделены три направления , но мы знаем, что в другом декартовом базисе тензор имеет те же координаты (). Тензор - тоже изотропный - не обладает симметрией.

Из этого материала можно получить три тензора

причем первый из них - нужной симметрии, а два другие несимметричны. В этом легко убедиться, умножая на произвольный тензор

Поскольку тензор произволен, ответ не симметричен, что не отвечает требованию (3.30).

Зато симметричен тензор

который выделяет из тензора симметричную часть

Для симметричных тензоров - тензор тождественного преобразования.

Итого - всего-то 2 тензора!

Подставив в 3Г, получим

. (3.33)

На первую часть деформация влияет не так, как на девиатор! Две разные константы.

С уравнением (3.33) еще можно работать, но дальше будет труднее (для анизотропных сред). Поэтому попробуем чуть упростить. Вместо тензоров , выбрать другой тензорный базис

(3.34)

который, как можно показать (а мы в этом просто убедимся) удовлетворяет условию

.

Исходя из требования (3.34), быстро находим

И убеждаемся:

Закон Гука сейчас принимает более простой, на наш взгляд, вид:

Этот вид хорош тем, что легко обращается (попробуйте получить тензор ):

позволяет легко вычислять работу

и вообще удобен.

А что в ?

Нетрудно установить:

– проецирующий тензор,

,

– тоже проецирующий,

Из закона Гука следует, что в пространстве нет изотропных направлений ( – независимо от направления ).