Кафедра высшей математики и информационных технологий

Кафедра высшей математики и информационных технологий

А.А.Фатхуллина

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

ПО МАТЕМАТИКЕ

Нижнекамск – 2014

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение. 3

2. Общие требования к выполнению контрольной работы.. 5

3. Теоретические сведения к выполнению контрольной работы.. 5

3.1. Матрицы. Операции над матрицами. 5

3.2. Определители второго и третьего порядков. 8

3.3. Обратная матрица. 10

3.4. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 11

3.5. Векторы и операции над ними. 15

3.6. Уравнение прямой на плоскости. 17

3.7. Комплексные числа. 21

3.8. Вычисление пределов функции. 26

3.9. Непрерывность функции. 29

3.10. Производная. 32

3.11. Исследование функции на экстремум. 34

3.12. Неопределенный интеграл. 39

3.13. Определенный интеграл. 45

4. Образец выполнения контрольной работы.. 48

5. Задания контрольной работы.. 62

6. Учебно-методическое обеспечение. 72

1. Введение

 

Данные методические указания адресованы студентам заочных форм обучения (сокращенные сроки) по направлению «Технология продукции и организации общественного питания» при выполнении контрольной работы №1 по дисциплине «Математика». Эта работа полностью соответствует ФГОС ВПО по направлению «Технология продукции и организации общественного питания».

Студенты заочной формы обучения довольно часто испытывают серьезные затруднения при выполнении и грамотном оформлении контрольной работы. Настоящее учебно-методическое пособие призвано помочь студентам самостоятельно выполнить задания контрольных работ и правильно их оформить.

Данные методические указания состоят из следующих основных частей: общих требований к выполнению контрольной работы, теоретических сведений необходимых для выполнения контрольной работы, образца решения нулевого варианта контрольной работы и 10 вариантов заданий контрольной работы №1 по дисциплине «Математика» для направления «Технология продукции и организации общественного питания».

Раздел «Теоретические сведения к выполнению контрольной работы» содержит необходимый минимум сведений из курса математики, требуемый для выполнения предлагаемых заданий. Этот теоретический материал включает в себя все необходимые определения, утверждения и формулы. По каждой теме приводятся примеры, в которых подробно описывается весь ход решения. Образец решения нулевого варианта контрольной работы призван помочь студентам в дальнейшей отработке навыков решения задач из курса «Математика» и в грамотном оформлении собственной работы. Предлагаемые варианты заданий контрольных работ полностью соответствуют объему изучаемого материала курса математики. Все это даст возможность студентам заочных форм обучения качественно выполнить контрольную работу.

Целями освоения дисциплины «Математика» являются изучение математики с элементами аналитической геометрии и разделов математического анализа, приобретение навыков использования математического универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов при построении математических моделей различных экономических закономерностей и процессов и прогнозировании развития экономики. Достижение этих целей обеспечивает выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования.

Изучение дисциплины направлено на формирование компетенций, позволяющих применять базовые математические знания для решения профессиональных задач.

Данные методические указания способствуют развитию следующих профессиональных компетенций студентов обучающихся по направлению «Технология продукции и организации общественного питания»:

– способен использовать законы и методы математики, естественных, гуманитарных и экономических наук при решении профессиональных задач (ПК-1);

– использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования. Умеет использовать нормативные правовые документы в своей (ПК-3);

– способен измерять и составлять описание проводимых экспериментов, подготавливать данные для составления обзоров, отчетов и научных публикаций; владеет статистическими методами и средствами обработки экспериментальных данных проведенных исследований (ПК-32).

Для достижения порогового уровня сформированности данных компетенций необходимо:

– решить задания контрольной работы 1, 3, 4(а), 6(а, б, в), 7(а), 8(а, б), 10(а,б), 12(а,б,в), 13 и 14, то есть все задания контрольной работы, кроме заданий 2, 4(б) и 7(б), 8(в), 9 и 11.

– уметь объяснять ход решения предлагаемых задач, знать правила и принципы, на которых основано это решение;

– уметь исправлять ошибки, допущенные в ходе решения задач. Количество верно выполненных заданий должно быть не менее 60 %, то есть допускается не более 6 заданий из 16, в которых допущены ошибки.

Дополнительные задания, предлагаемые студентам, претендующим на овладение повышенным уровнем сформированности компетенций, помечены значком * (звездочка).

Для достижения повышенного уровня сформированности этих компетенций необходимо:

– самостоятельно верно решить все задания контрольной работы;

– знать теоретические сведения, на которых основано решение данных заданий;

– уметь обосновывать выбор метода решения предлагаемых задач;

– уметь формулировать самостоятельно выводы по полученным данным и их интерпретировать.

 

2. Общие требования к выполнению контрольной работы

 

Приступая к выполнению контрольной работы по математике необходимо изучить теоретический материал и разобрать решения заданий нулевого варианта приведенных в образце выполнения контрольной работы. Только после этого рекомендуется приступать к решению контрольной работы.

Студент выполняет вариант контрольной работы, соответствующий последней цифре номера его зачетной книжки (цифре 0 соответствует номер 10). Работа с чужим вариантом не засчитывается. Контрольная работа выполняется вручную в тетради, страницы которой имеют поля для замечаний преподавателя. Последовательность решения задач должна соответствовать последовательности заданий контрольной работы. Перед решением задачи необходимо переписать ее условие. Титульный лист выполняется на компьютере и оформляется по примеру, приведенному в приложении.

Выполненная и оформленная контрольная работа должна быть представлена на кафедру высшей математики Института экономики, управления и права (г. Казань) не позднее, чем за 15 дней до начала сессии.

 

Обратная матрица

 

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если выполняется равенство:

(1)

Матрица имеет единственную обратную матрицу тогда и только тогда когда ее определитель отличен от нуля.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Вычислить определитель матрицы . Если определитель этой матрицы равен нулю, то не существует. Если же определитель этой матрицы не равен нулю, то существует.

2. Вычислить транспонированную матрицу .

3. Вычислить алгебраические дополнения матрицы .

4. Вычислить обратную матрицу по формуле:

.

5. Проверить правильность вычислений по формуле (1). Выполнение данного пункта не является обязательным.

Пример. Вычислить обратную матрицу , если

.

Решение.

1. Вычислим определитель данной матрицы.

2. Вычислим транспонированную матрицу :

.

3. Вычислим алгебраические дополнения матрицы :

; ; ;

; ; ;

; ; .

4. Вычислим обратную матрицу:

.

 

Основные понятия

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n переменными:

(2)

где – коэффициенты при переменных, – свободные члены уравнений.

Совокупность чисел называется решением системы (2), если при их подстановке каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система, не имеющая решений, называется несовместной. Система, имеющая решения называется совместной.

Совместная система, имеющая единственное решение называется определенной. Совместная система, имеющая более одного решения называется неопределенной.

Выпишем коэффициенты при переменных в системе (2) в виде матрицы:

.

Матрица называется матрицей системы.

Выписав из системы все переменные, получим матрицу-столбец переменных:

.

Выписав все свободные члены, получим матрицу-столбец свободных членов:

.

Матрица

называется расширенной матрицей системы.

Формулы Крамера

Рассмотрим систему (2), в которой число уравнений равно числу переменных, то есть . В этом случае матрица системы будет квадратной, а ее определитель называется определителем системы.

Если определитель матрицы системы не равен нулю , то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам:

, , …, , (3)

 

где − определитель матрицы системы,

− определитель, получаемый из определителя заменой - го столбца столбцом свободных членов.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений:

Решение. Решим систему линейных уравнений с помощью формул Крамера.

Составим определитель матрицы системы уравнений. Для этого выпишем коэффициенты при переменных , и в определитель и вычислим его по «правилу треугольника»:

Заменив первый столбец определителя столбцом свободных членов, получим определитель:

Заменив второй столбец определителя столбцом свободных членов, получим определитель:

Заменив третий столбец определителя столбцом свободных членов, получим определитель:

По формулам Крамера находим:

,

,

.

Ответ: , , .

 

Метод Гаусса

 

Рассмотрим решение системы (2) методом Гаусса (методом последовательного исключения переменных). Метод Гаусса состоит из прямого и обратного хода.

Прямой ход. Выпишем расширенную матрицу системы (2) и приведем матрицу к ступенчатому виду, то есть к виду, для которого выполняются условия:

1) все ненулевые строки (имеющие, по крайней мере, один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками;

2) ведущий элемент, то есть первый ненулевой элемент строки при отсчёте слева направо каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.

.

Каждую прямоугольную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду. Элементарные преобразования матрицы – это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, заданной с помощью этой матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относится:

1) умножение любой строки на числовой коэффициент ;

2) прибавление к какой-либо строке другой строки, умноженной на числовой коэффициент;

3) перестановка местами любых двух строк.

Обратный ход. Вернемся от расширенной матрицы ступенчатого вида к системе уравнений, которая соответствует этой матрице. Затем начиная с последних по номеру переменных, последовательно найдем все переменные.

Пример. Решить систему линейных уравнений:

Решение. Решим эту систему уравнений методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Прокомментируем каждый шаг алгоритма:

1-й шаг: умножаем первую строку на (-2) и прибавляем к третьей строке. В результате получим в первом столбце все нули, кроме верхнего элемента.

2-й шаг: умножим вторую строку на .

3-й шаг: умножим вторую строку на 5 и прибавим к третьей строке.

В результате мы получим расширенную матрицу ступенчатого вида.

Далее от полученной расширенной матрицы вернемся к соответствующей ей системе уравнений:

Отсюда, из третьего уравнения найдем . Подставляя полученное значение во второе уравнение, найдем . Подставляя вместо и полученные значения, из первого уравнения найдем .

Ответ: .

 

Векторы и операции над ними

 

Вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно самому себе. Векторы могут обозначается несколькими способами. Например, либо a, или , где точка означает начало вектора, а точка – конец вектора.

Длиной вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор. Длина вектора обозначается .

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором. Нуль-вектор обозначается .

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

Противоположным вектором называется вектор .

Определим понятие суммы двух векторов. Пусть и – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку и построим вектор . От точки отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : . (см. рис. 1) Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Также сумму двух векторов можно построить по правилу параллелограмма. Для этого берут произвольную точку и откладывают от нее два вектора и . Далее на этих векторах достраивают параллелограмм . Диагональ является суммой векторов и . (см. рис. 2)

Разностью двух векторов и называется вектор . (см. рис. 3)

Введем понятие координат вектора. Для этого совместим начало вектора с началом координат. Тогда координатами вектора называются координаты его конечной точки.

Пусть точка имеет координаты , а точка – . Тогда координаты вектора .

Суммой векторов и является вектор .

Разностью векторов и является вектор .

Произведением вектора на число называется вектор .

Длина вектора равна .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где – угол между векторами и .

Если вектора и заданы с помощью координат, то скалярное произведение векторов равно: .

Заметим, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

Угол между векторами и вычисляется по формуле:

.

Пример. Даны два вектора и . Найти угол между этими векторами.

Решение. Вычислим косинус угла между этими векторами: . Следовательно, .

Ответ: .

Комплексные числа

 

Определение. Числа вида , где и - вещественные числа, называются комплексными числами.

Число называется мнимой единицей, числа – мнимыми числами. Если , то число называется вещественной частью комплексного числа и обозначается , число называется мнимой частью и обозначается . Число называется сопряженным числу и обозначается , то есть .

Замечание. В электротехнике, где буква обозначает ток, мнимую единицу обозначают буквой .

Алгебраические действия над комплексными числами выполняются по формулам:

,

,

,

Пример. Пусть . Тогда:

 

Вычисление пределов функции

 

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Число называется пределом функции при , стремящемся к (в точке ), если для любого существует такое, что при справедливо неравенство .

В этом случае пишут: .

В самой точке функция может и не существовать. Аналогично, запись обозначает, что для любого существует число такое, что при выполняется неравенство .

При вычислении пределов применяются следующие теоремы:

I. Если точка принадлежит области определения функции , то .

II. Если существуют конечные пределы (или ) и (или ), то

1. , где – постоянная.

2. .

3. .

4. , если .

Полагают, что , , где – постоянная, причем .

Вычисление предела , где , начинают всегда с подстановки в предельного значения её аргумента . В процессе вычисления пределов могут возникать неопределенности вида . В простейших случаях они раскрываются с помощью алгебраических преобразований.

Пример. Найти .

Решение. Используя теоремы о пределах, получим:

.

Ответ: 7.

Для раскрытия неопределенности при , если она задана отношением двух многочленов, сначала раскладывают на множители числитель и знаменатель, а затем сокращают на . При этом обычно используют формулы сокращенного умножения:

где – корни квадратного уравнения

В квадратном трёхчлене множитель выделяют разложением квадратного трёхчлена по формуле , где .

В выражении множитель выделяют следующим способом:

Пример. Найти .

Решение. При подстановке в выражение, стоящего под знаком предела предельного значения равного 3, получаем неопределенность . Для разложения числителя на множители решаем квадратное уравнение и находим корни и . Следовательно, . В знаменателе выносим за скобку, получим .После сокращения дроби на и подстановки в полученное выражение предельного значения , равного 3, получим:

.

Ответ:

Пример. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на наибольшую степень , то есть на . Знаменатель полученной дроби при не равен 0, следовательно, применяя теоремы о пределах получим:

Ответ: 0.

Пример. Найти

Решение. При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия сначала разделим числитель и знаменатель дроби на (старшую степень переменной в числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших функций. Получим

Пример. Найти

Решение.При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида , где – некоторое число, т.е. множитель . Затем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.

В результате получим

.

Для вычисления пределов часто используются первый замечательный предел:

и второй замечательный предел:

или

,

а также их следствия:

,

,

.

При вычислении пределов также могут использоваться следующие известные пределы: , , ().

 

Непрерывность функции

 

Функция называется непрерывной в точке , если для справедливо неравенство .

.

В определении предела в точке число может быть любым числом, в частности .

В определении непрерывности пределом может быть только значение в предельной точке .

Непрерывность в точке означает выполнение трех условий:

1) существование значения функции в предельной точке,

2) существование предела функции в рассматриваемой точке,

3) значение функции в предельной точке совпадает с пределом функции в заданной точке.

Если какое-либо из этих условий будет нарушено в заданной точке, то такая точка называется точкой разрыва.

Пример. Дана функция , выяснить является ли непрерывной в точках

1) =

2)

3) в точке функция непрерывна.

Теорема. Сумма, разность, произведение, частное двух непрерывных в точке функций (функция, стоящая в знаменателе 0) также являются непрерывными в точке функциями.

, g (x) 0

Определение. называется непрерывной на отрезке [ а; b ] если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.