Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Основные правила интегрирования ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
1. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы (или разности) конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме (или разности) интегралов от этих функций: . 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: , . 3. (Инвариантность формулы интегрирования) Если , то и , где – произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Таблица основных интегралов 1. .
2. .
3. . 4. .
5. .
6. .
7. .
8. . 9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
В таблице переменная интегрирования может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования). Непосредственное интегрирование Непосредственным интегрированием называется метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (выражения) и применения свойств неопределенного интеграла сводится к табличному интегралу. Примеры. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .
Интегрирование путем подведения под знак дифференциала и методом подстановки При сведении интеграла к табличному часто используют метод интегрирования путем подведения под знак дифференциала. В данном случае используют следующую формулу: , где – функция, имеющая непрерывную производную на рассматриваемом промежутке. Применяют также интегрирование методом подстановки. Обозначим , тогда получим . Тогда . Подведение под знак дифференциала есть одна из реализаций метода замены переменной. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а иногда свести его даже к табличному. Примеры. Вычислить следующие интегралы: 1. . 1 способ. . 2 способ. .
2. .
1 способ. . 2 способ. .
3. .
1 способ. .
2. способ. .
4. .
1 способ. .
2 способ. . Метод интегрирования по частям Пусть функции и имеют непрерывные производные на заданном интервале, тогда справедлива формула интегрирования по частям: . Метод интегрирования по частям целесообразно применять в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен, при этом за берется та функция, которая при дифференцировании упрощается, а за берется та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Выделяют следующие типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям: 1. , , , где - многочлен степени , – число. При вычислении данных интегралов формулу применяют n раз, обозначив за . 2. , , , , . При вычислении интегралов второго типа удобно обозначить за . 3. , , – числа. В данном случае обозначают . Примеры. 1.
2. .
Иногда формулу интегрирования по частям приходится применять более одного раза. Пример. .
Интегрирование простейших рациональных дробей 1. Интегралы вида сводят к табличным заменой . 2. Интегралы вида разбиваются на сумму двух интегралов и . Первый решается заменой . А второй представляет собой табличный интеграл. 3. Интегралы вида решаются с помощью выделения полного квадрата в знаменателе . Аналогично решаются интегралы вида .
Определенный интеграл Пусть функция определена и ограничена на и произвольное разбиение этого отрезка на элементарных отрезков. На каждом отрезке выберем точку . Тогда сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке . Если предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует и конечен, то он называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается: . Определенный интеграл не должен зависеть от способа выбора точек и точек Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: , где любая первообразная функции на отрезке . Таким образом, при вычислении определенного интеграла с использованием формулы Ньютона-Лейбница сначала, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят первообразную для подынтегральной функции , а затем вычисляют приращение первообразной на данном отрезке. Примеры. 1.
2.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; просмотров: 2825; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.228.168.200 (0.024 с.) |