Теоретические сведения к выполнению контрольной работы

 

Матрицы. Операции над матрицами

Прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов, называется матрицей размера :

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы имеет два индекса: первый показывает номер строки, а второй – номер столбца, в которых расположен этот элемент.

Пример. В матрице .

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк – ее порядком.

Совокупность элементов квадратной матрице с одинаковыми индексами образует главную диагональ матрицы.

Если все элементы главной диагонали квадратной матрицы равны единице, а все остальные элементы равны нулю, то матрица называется единичной.

Пример. – единичная матрица.

Суммой матриц и одинаковых размеров называется матрица, элементы которой равны суммам элементов матриц и , расположенных на соответствующих местах.

Пример. Даны матрицы

и .

Вычислить их сумму.

Решение.

.

Ответ: .

Аналогично выполняется и вычитание матриц.

Пример. Даны матрицы и .

Найти их разность.

Решение. .

Ответ: .

Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

Пример. Дана матрица .

Вычислить матрицу .

Решение. .

Ответ: .

Произведение матрицы на матрицу определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получится матрица , количество строк которой совпадает с количеством строк, матрицы , а количество столбцов совпадает с количеством столбцов матрицы .

Произведением матриц и называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы (правило «строка на столбец»): .

Пример. Даны матрицы

и .

Вычислить произведение .

Решение. Поскольку число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то указанное произведение существует. Вычислим произведение по правилу «строка на столбец»:

.

Ответ: .

Если в матрице поменять местами строки и столбцы с сохранением порядка, то мы получим транспонированную матрицу .

Пример. Дана матрица .

Найти транспонированную матрицу .

Решение. Запишем строки матрицы в виде столбцов.

Получим транспонированную матрицу .

Ответ: .

 

Некоторые свойства операций над матрицами:

1.

2.

3. , где – число

4.

5.

6. , где – число

7.

8. В общем случае

9. Из того, что , не следует, что или .