Операции над нечеткими отношениями

Объединение. Объединение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ÈR₂ – отношение, с функцией принадлежности, определямое выражением: m_R1ÈR2(x, y) = max {m_R1(x, y), m_R2(x, y) }

Примеры:

1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: x R₁ y – "числа x и y очень близкие", xR₂y – "числа x и y очень различны" и их объединение x R₁ÈR₂ y – "числа x и y очень близкие или очень различные".

где a – такое значение | y – x |, что m_R1(x, y) = m_R2(x, y).

2.

R1   y1 y2 y3 x1 0,1   0,8 x2   0,7

R2   y1 y2 y3 x1 0,7 0,9   x2 0,3 0,4 0,5

R1ÈR2   y1 y2 y3 x1 0,7 0,9   x2   0,7 0,5

Пересечение. Пересечение двух отношений R₁ и R₂ обо-значается R₁ÇR₂ и определяется выражением:

m_R1ÇR2(x, y) = min { m_R1(x, y), m_R2(x, y) }.

Пример.

Выше изображены отношения: xR₁y, означающее "модуль разности | y – x | близок к a", xR₂y, означающее "модуль разности | y – x | близок к b", и их пересечение.

Алгебраическое произведение отношений. Алгебраическое произведение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁×R₂ и определяется выражением:

m_R1×R2 (x,y) = m_R1 (x,y)× m_R2 (x,y)

Алгебраическая сумма отношений. Алгебраическая сумма двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ + R₂ и опре-деляется выражением:

.

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R₁ Ç (R₂ È R₃) = (R₁ Ç R₂) È (R₁ ÇR₃),
R₁ È (R₂ Ç R₃) = (R₁ È R₂) Ç (R₁ È R₃),
R₁ × (R₂ È R₃) = (R₁×R₂) È (R₁×R₃),
R₁×(R₂ÇR₃) = (R₁×R₂)Ç(R_1××R₃),
R₁ + (R₂ È R₃) = (R₁ + R₂) È (R₁ + R₃),
R₁ + (R₂ Ç R₃) = (R₁ + R₂) Ç (R₁ + R₃).

Дополнение отношения. Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности:

(x,y) = 1 – m_R(x,y).

Функция выбора. Основные понятия

Задача выбора возникает, когда из некоторого конечного или бесконечного множества надо отобрать подмножество в каком-то смысле хороших элементов. Подмножество отбираемых эле-ментов называется выбором, а правило их отбора – функцией выбора.

Более строго функцию выбора можно определить следующим образом. Пусть А – множество элементов из которых осу-ществляется выбор, ХÍА – множество допустимых решений (предъявление), а С(Х)ÍХ – множество отобранных точек (выбор). Отображение j: Х ® C(Х) называется функцией выбора. Алгоритм реализующий эту функцию выбора называется механизмом выбора.

Рассмотрим примеры наиболее распространенных механизмов выбора.

1) Скалярный оптимизирующий механизм – выбор вариантов, при которых некоторая скалярная функция f(х) достигает максимума.

С_опт(Х) = { хÎХ | х = arg max f(x) }

2) Условно-оптимальный механизм – выбор по схеме математического программирования, т.е. выбор таких хÎХ, при которых достигается условный максимум скалярной функции f₀(x) при выполнении системы ограничений.

С_мп(Х) = { хÎХ | х = arg[ max f₀(x) | f _i(х) £ 0, i = 1,..,m] }

3) Механизм доминирования по бинарному отношению R – выбор тех хÎХ, которые с любым элементом из Х находится в отношении R (элемент х лучше любого y в смысле отношения предпочтении R).

С_R(Х) ={ хÎХ | " yÎХ: (x, y)ÎR }

4) Механизм блокировки по бинарному отношению R – вы-бор тех элементов xÎX, для которых в Х нет элемента лучше в смысле отношения предпочтения R.

С^R(Х) = { хÎХ | " yÎХ: (x, y)ÏR }

5) Механизм ограничений по бинарному отношению R отбирает те элементы х, которые с фиксированной точкой u образует пару в R.

С_u(Х) = { хÎХ | (x, u)ÎR }

6) Паретовский механизм осуществляет выбор таких элементов х, для которых нет элемента y лучшего чем х сразу по всем критериальным функциям f _i(х).

С_par(Х) = { хÎХ | не $ yÎХ: f _i(y) ³ f _i(x) " i = 1,..,m }

7) Турнирный механизм – выбор такого х, при котором достигает максимума турнирная функция f_R(x). Ее можно трактовать, как число очков, набранных элементом х во время турнира со всеми элементами из Х.

С_T(Х) = { хÎХ | х=arg max f _R(x) }; f _R(x) = å f _R (x,y) y

При решении задачи выбора возникают 2 подзадачи.

1) Задача анализа – организация выбора по заданному механизму выбора и предъявлению.

2) Задача синтеза – построение механизма выбора по известному выбору на предъявлении Х и результату выбора С(х).