Методы построения функций принадлежности нечетких множеств

В приведенных выше примерах использованы прямыеметоды, когда эксперт либо просто задает для каждого xÎE значение m _A (x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:

x 1	высота лба	низкий	широкий
x 2	профиль носа	курносый	горбатый
x 3	длина носа	короткий	длинный
x 4	разрез глаз	узкие	широкие
x 5	цвет глаз	светлые	темные
x 6	форма подбородка	остроконечный	квадратный
x 7	толщина губ	тонкие	толстые
x 8	цвет лица	темный	светлый
x 9	очертание лица	овальное	квадратное

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной

шкалы, задает m _A (x)Î[0, 1], формируя векторную функцию

принадлежности { m _A (x₁), m _A (x₂),... m _A (x₉) }.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: “этот человек лысый” или “ этот человек не лысый”, тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m_"лысый" (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, m _A (x_i) = w _i, i = 1, 2,..., n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {a_ij}, где a_ij = w _i/ w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a_ij = 1 / a_ij, т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. Доказано [3], что в общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида А w = l_maxw, где l_max – наибольшее собственное значение матрицы A. Имеет место теорема Перрона, согласно которой для матрицы А с положительными элементами решение данной задачи существует и является положительным.

В случае идеальной согласованности экспертных оценок должно выполняться соотношение . (1)

В этом случае l_max совпадает с n – размерностью матрицы

А. В случае нарушения условия (1) l_max меньше n. Таким образом, величина разности l_max – n может служить мерой согласованности экспертных оценок.

Для вычисления l_max можно рекомендовать метод скалярных произведений. Метод основан на следующем соотношении:

,

при произвольном векторе у₀. Для вычислений удобнее строить две последовательности векторов: у_k = А^kу₀ и z_k = (А^T)^kу₀. Тогда

.