Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение A и B обозначается A×B и определяется так:

"xÎE m_A×B (x) = m_A(x)m_B(x).

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А + В и определяется так:

"xÎE m_A+В(x) = m _A(x) + m_B(x)-m_A(x)m_B(x).

Для операций {×, +} выполняются свойства:

· – коммутативность;

· – ассоциативность;

· A×Æ = Æ, A+Æ = A, A×E = A, A+E = E;

· – законы де Моргана.

Не выполняются:

· – идемпотентность;

· – дистрибутивность;

· а также A× = Æ, A+ = E.

Докажем первый закон де Моргана. Обозначим m_A(x) через a, m_B(x) через b. Тогда в левой части равенства для каждого элемента х имеем: 1– ab, а в правой, согласно формуле алгебраического сложения: (1– a) + (1– b) – (1 – a)(1 – b) = 1 – ab.

Докажем, что первое свойство дистрибутивности не выполня-ется, т.е. A×(B + C) ¹ (A×B) + (A×C). Для левой части имеем: a(b+c – bc) = ab + ac – abc; для правой: ab + ac – (ab)(ac) = ab + ac + a² bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a¹a².

Замечание. При совместном использовании операций {È, Ç,+,×} выполняются свойства:

· А×(B È C) = (A×B) È (A × C);

· А× (B Ç C) = (A×B) Ç (A×C);

· А+(B È C) = (A+B) È (A+C);

· А+ (B Ç C) = (A+B) Ç (A+C).

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A₁, A₂,..., A_n – нечеткие подмножества универсальных множеств E₁, E₂,..., E_n соответственно. Декартово произведение A = A₁´A₂ ´...´A_n является нечетким подмножеством множества E = E₁´E₂ ´ ... ´E_n с функцией принадлежности:

m_A(x ₁, x ₁,..., x _n) = min{ m_A1(x ₁), m_A2(x ₂),..., m_Ai(x _n) }.

Принцип обобщения

Принцип обобщения – одна из основных идей теории нечетких множеств – носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на множестве X со значением в множестве Y, если она каждому элементу xÎX ставит в соответствие элемент yÎY со степенью принадлежности m_f(x,y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f: X Y.

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f: X®Y или нечетком f: X Y отображении для любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.

Пусть f: X®Y заданное четкое отображение, а A = {m_A(x)/х}– нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:

m_f(A)(y) = ; yÎY,

где f ^–1(y)={x | f(x) = y}.

В случае нечеткого отображения f: X Y, когда для любых xÎX и yÎY определена двуместная функция принадлежности m_f(x, y), образом нечеткого множества А, заданного на Х, являет-ся нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности m_f(A)(y) = { min(m_A(x), m _f (x, y) }.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Пусть: A = 0,4/ x₁ È 0,2/ x₂ È 0/ x₃ È 1/ x₄;

B = 0,7/ x₁ È 0,9/ x₂ È 0,1/ x₃ È1/ x₄;
C = 0,1/ x₁ È 1/ x₂ È 0,2/ x₃ È 0,9/ x₄.

Построить множества: а) AÇB;

б) АÈВ;

в) А \ В; В \ А.

2. Для универсального множества E = {Запорожец, Жигули, Мерседес, Феррари} прямым методом построить нечеткие множества: а) “скоростные”;

б) “средние”;

в) “тихоходные”.

3. Пусть E = {1, 2, 3,..., 100} и соответствует понятию “возраст“. Прямым методом построить нечеткие множества

а) “пожилой”;

б) “пора замуж”;

в) “призывник”,

и построить аппроксимирующую формулу для соответсивующих функций принадлежности.

4. В условиях задачи 2 построить нечеткие множества а) – в) косвенным методом на основе парных сравнений элементов Е.

 

ГЛАВА 2. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

И ФУНКЦИЯ ВЫБОРА