Глава 3. Энергия. Работа. Мощность

Контрольные вопросы

1. Что такое энергия?

2. Что такое работа? Как найти работу постоянной и переменной силы? Как найти работу системы сил?

3. Что такое мощность? На что расходуется мощность двигателя автомобиля при его равномерном движении?

4. Какая энергия называется кинетической? Чему она равна?

5. Какая энергия называется потенциальной? Когда о ней можно говорить? Чему она равна в поле тяжести Земли, в гравитационном поле, в поле упругих сил?

6. Дайте понятия первой, второй и третьей космических скоростей. Чему равны их значения для Земли?

7. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Объясните необходимость для этого консервативности сил.

8. При каком условии механическая энергия свободно падающего тела в поле тяжести Земли остается величиной постоянной?

9. Какой удар называется неупругим? Как найти скорость тел после неупругого удара?

10. Какой удар называется упругим? Какие законы сохранения при этом выполняются? Как найти скорости тел после упругого удара?

Основные формулы

Работа постоянной силы

,

где a - угол между направлением силы и перемещением, F_S - проекция вектора силы на перемещение.

Работа переменной силы

.

Интегрирование должно быть распространено на все перемещение S.

Мощность .

Если F = const, то

,

Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью v,

.

Потенциальная энергия материальной точки в поле силы тяжести

 

E _п = mgh.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины

,

где x - величина абсолютной деформации пружины.

 

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел

,

где М и m - массы тел; r - расстояние между центрами масс тел.

 

Первая космическая скорость при движении тела по круговой орбите вокруг Земли

Закон сохранения механической энергии (для замкнутой консервативной системы)

Работа А, совершаемая результирующей силой, равна изменению кинетической энергии материальной точки:

Скорость движения тел после центрального абсолютно неупругого удара

,

где v₁ и v₂ - проекции скоростей тел до удара на ось движения.

 

Скорости тел после центрального абсолютно упругого удара

 

, ,

 

где v ₁ и v ₂ - проекции скоростей тел до удара на ось движения.

Методические указания

1. Поскольку в данном разделе объединены разноплановые задачи, то дать единые рекомендации не представляется возможным. Поэтому ниже приводятся советы по отдельным типам задач данного раздела.

2. Так как импульс и кинетическая энергия зависят от скорости, а значит от выбора системы отсчета, то, составляя уравнения для системы тел на основе законов сохранения импульса и энергии, надо рассматривать движение всех тел в одной и той же инерциальной системе.

3. Закон сохранения импульса позволяет исключить из рассмотрения внутренние силы, действующие в замкнутой системе между телами. При решении задач векторное уравнение проектируется на оси координат, а затем решается система алгебраических уравнений.

4. Закон сохранения механической энергии справедлив в замкнутой системе, если внутренние силы являются консервативными (например, силы тяготения, упругие силы). Эти силы могут сложным образом зависеть от времени, и решение задачи на основе законов Ньютона может оказаться сложным математически или даже невозможным. Закон сохранения механической энергии, связывая начальное и конечное состояния системы взаимодействующих тел, позволяет не рассматривать действующие между телами силы, что значительно упрощает решение задачи.

5. В случае абсолютно упругого удара тел, в замкнутой системе сохраняется как импульс, так и механическая энергия. Это позволяет находить скорости тел после удара. При неупругом ударе сохраняется только импульс. Тела после удара движутся с общей скоростью, которая находится на основе закона сохранения импульса.

Задачи

47. При подъеме груза массой 2 кг на высоту 1 м сила совершает работу 78,5 Дж. С каким ускорением поднимается груз?

[29,4 м/с²]

48. Шофер автомобиля, имеющего массу 1 т, начинает тормозить на расстоянии 25 м от препятствия на дороге. Сила трения в тормозных колодках автомобиля 3,84 кН. При какой предельной скорости движения автомобиль успеет остановиться перед препятствием? Трением колес о дорогу пренебречь.

[50 км/ч]

49. Найти работу, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость движения тела массой 1 кг от 2 м/с до 6 м/с на пути в 10 м. На всем пути действует сила трения 2 Н.

[36 Дж]

50. На автомобиль массой 1 т во время движения действует сила трения, равная 0,1 действующей на него силы тяжести. Какую массу бензина расходует двигатель автомобиля на то, чтобы на пути 0,5 км увеличить скорость движения автомобиля от 10 км/ч до 40 км/ч? К.п.д. двигателя 0,2, удельная теплота сгорания бензина 46 МДж/кг.

[0,06 кг]

51. Найти к.п.д. двигателя автомобиля, если известно, что при скорости движения 40 км/ч двигатель потребляет объем 13,5 л бензина на 100 км пути и развивает мощность 12 кВт. Плотность бензина 800 кг/м³, удельная теплота сгорания бензина 46 МДж/кг.

[0,22]

52. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень с начальной скоростью 15 м/с. Найти кинетическую и потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения. Масса камня 0,2 кг.

[32,2 Дж; 39,4 Дж]

53. Камень брошен со скоростью 15 м/с под углом a = 60^о к горизонту. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергии камня: а) через время 1 с после начала движения; б) в высшей точке траектории. Масса камня 0,2 кг.

[6,6 Дж; 15,9 Дж; 22,5 Дж; 5,7 Дж; 16,8 Дж]

54. Тело массой 10 г движется по окружности радиусом 6,4 см. Найти тангенциальное ускорение тела, если известно, что к концу второго оборота после начала движения его кинетическая энергия 0,8 мДж.

[0,1 м/с²]

55. Тело массой 1 кг скользит сначала по наклонной плоскости высотой 1 м и длиной склона 10 м, а затем по горизонтальной поверхности. Коэффициент трения на всем пути 0,05. Найти: а) кинетическую энергию тела у основания плоскости; б) скорость тела у основания плоскости; в) расстояние, пройденное телом по горизонтальной поверхности до остановки.

[4,9 Дж; 3,1 м/с; 10 м]

56. Тело, массой 3 кг, скользит по наклонной плоскости. Высота плоскости 0,5 м, а длина ее склона 1 м. Приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью 2,45 м/с. Найти коэффициент трения тела о плоскость и количество теплоты, выделенное при трении. Начальная скорость движения тела равна нулю.

[0,22; 5,7 Дж]

57. Какую мощность развивает двигатель автомобиля массой 1 т, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 км/ч; а) по горизонтальной дороге; б) в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути; в) под гору с тем же уклоном? Коэффициент трения 0,07.

[6,9 кВт; 11,8 кВт; 1,98 кВт]

58. Тело массой 1 кг движется горизонтально со скоростью 2 м/с и сталкивается с телом массой 0,5 кг. Удар неупругий. Найти скорости тел после удара, если; а) второе тело покоилось: б) второе тело двигалось со скоростью 1 м/с в том же направлении, что и первое: в) второе тело двигалось со скоростью 1 м/с навстречу первому.

[1,3 м/с; 1,7 м/с; 1м/с]

59. Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 3 кг со скоростью 8 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед 0,02?

[0,3 м]

60. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и нагоняет тело массой 8 кг, движущееся со скоростью 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорости тел после удара, если удар: а) неупругий; б) упругий.

[1,4 м/с; - 0,2 м/с; 1,8 м/с]

61. Тело массой 3 кг движется со скоростью 4 м/с и ударятся о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, найти количество теплоты, выделившееся при ударе.

[12 Дж]

62. Два шара массами 0,2 кг и 0,1 кг подвешены на нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Первый шар отклоняют на высоту 4,5 см и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после удара, если удар: а) упругий; б) неупругий?

[ h ₁ = 0,005 м; h ₂ = 0,08 м; h = 0,02 м]

63. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня 1 м. Найти скорость пули если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол a = 10^о.

[550 м/с]

64. Баба копра массой 400 кг падает на сваю массой 100 кг, вбитую в грунт. Определить среднюю силу сопротивления грунта и к.п.д., если известно, что при каждом ударе свая погружается в грунт на 5 см, а высота поднятия копра 1,5 м. Удар неупругий.

[9,4×10⁴ Н; = 0,8]

65. На вершине гладкой полусферы находится шайба, массой 10 г. и радиусом 0,5 м. Шайба начинает скользить вдоль сферы, под действием горизонтально направленного, кратковременного импульса силы 0,02 Н·с. На какой высоте от основания полусферы шайба оторвется от ее поверхности?

[0,47 м]

66. Молотом, массой 5 кг и имеющим скорость 10 м/с, ударяют по куску железа на наковальне. Общая масса куска железа и наковальни 100 кг. Считая удар неупругим, найти работу деформации и к.п.д. удара.

[237,5 Дж; = 0,95]