Глава 4. Механика вращательного движения

Контрольные вопросы

1. Что значит вращательное движение твердого тела?

2. Что характеризует момент инерции тела и как его вычислить? Вспомните формулы для вычисления моментов инерции стержня, диска, цилиндра, обруча, шара, сферы относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

3. Что характеризует момент силы? Как направлен вектор момента силы и чему равен его модуль?

4. Запишите основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

5. Что такое момент импульса? Чему равен момент импульса вращающегося тела относительно оси вращения? Как направлен вектор момента импульса?

6. Сформулируйте закон сохранения момента импульса и приведите примеры его проявления.

7. Как вычислить кинетическую энергию вращающегося тела?

8. Чему равна работа силы при вращательном движении?

 

Основные формулы

 

Момент М силы F относительно оси вращения u определяется формулой

,

где – радиус-вектор, проведенный от оси вращения в точку приложения силы.

 

Модуль ,

где d - плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

 

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения

где m – масса материальной точки и r – ее расстояние до оси вращения,

 

Момент инерции твердого тела относительно его оси вращения

где интегрирование должно быть распространено на всю массу тела.

 

Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

где – радиус цилиндра и – его масса.

 

Момент инерции полого цилиндра (толстого кольца) c внутренним радиусом и внешним относительно оси цилиндра

для тонкостенного полого цилиндра (обруча)

Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр,

.

 

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему,

.

Если для какого-либо тела известен его момент инерции J _c относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по формуле Штейнера

,

где m – масса тела, d – расстояние между осями.

 

Момент импульса материальной точки относительно оси определяется

,

где - импульс материальной точки.

 

 

Модуль

,

где J _u - момент инерции точки относительно оси u.

 

Аналогично и для твердого тела

.

 

Основной закон динамики вращательного движения выражается уравнением

,

где М – момент внешних сил, приложенных к телу, L – момент импульса тела, J – момент инерции тела, w – его угловая скорость.

Если J = const, то

,

где e – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил М (второй закон Ньютона для вращательного движения).

 

Закон сохранения момента импульса (в замкнутой системе)

.

Кинетическая энергия вращающегося тела

,

Элементарная работа, совершаемая внешними силами за малый промежуток времени dt, при вращении тела

.

Полная работа при повороте на угол Dj = j ₂ - j₁:

.

При М = constA = M×Δj.

Методические указания

1. После краткой записи условия задачи сделать чертеж и указать на нем все силы, действующие на тела системы, все моменты сил и все векторные кинематические характеристики движения.

2. Записать второй закон Ньютона для вращательного движения . Так как в курсе общей физики обычно рассматривается вращение твердого тела лишь вокруг неподвижной оси (или оси, перемещающейся в пространстве параллельно самой себе), то на нее и проектируют векторное уравнение. В этом случае все векторы, характеризующие вращательное движение тела: , направлены вдоль оси вращения.

3. Для тел, движущихся поступательно, записывают второй закон Ньютона в форме и проектируют его на выбранные оси координат (обычно на одну ось).

4. Используя кинематические связи между телами и соотношения между линейными и угловыми характеристиками, упрощают записанные уравнения и добиваются, чтобы их число было равно числу неизвестных. Решая их, находят искомые величины.

5. Закон сохранения механической энергии, при решении задач на вращательное движение, применяется особенно в тех случаях, когда законы вращения сложны или даже неизвестны. Следует помнить, что полная кинетическая энергия твердого тела складывается из кинетической энергии его поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс.

6. Закон сохранения момента импульса при вращательном движении, как и закон сохранения импульса при поступательном движении, позволяет исключить из рассмотрения внутренние силы. Этот закон справедлив для системы, если она замкнута или результирующий момент всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю.

ЗАДАЧИ

67. К ободу однородного диска радиусом 0,2 м приложена касательная сила 98,1 H. При вращении на диск действует момент сил трения 4,9 Н×м. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением 100 рад/с².

[7,36 кг]

68. Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени дается уравнением w = A +Вt, где В = 8 рад/с². Найти касательную силу F, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.

[4,0 Н]

69. Маховик, момент инерции которого 63,6 кг×м², вращается с угловой скоростью 31,4 рад/с. Найти момент сил торможения, под действием которого маховик останавливается через 20 с. Маховик считать однородным диском.

[100 Н×м]

70. К ободу колеса, радиусом 0,5 м и массой 50 кг, приложена касательная сила 98,1 Н. Найти угловое ускорение колеса. Через какое время после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения в 100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь.

[7,8 рад/с²; 80 с]

71. Маховое колесо, момент инерции которого 245 кг×м², вращается с частотой 20 об/с. Через 1 минуту после того, как на колесо перестал действовать момент сил, оно остановилось. Найти момент сил трения и число оборотов, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.

[513 Н×м; 600 об.]

72. Две гири с массой 2 кг и 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой 1 кг. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силы натяжения нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

[2,8 м/с²; 14 Н; 12,6 Н]

73. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого 50 кг×м² и радиус 20 см. Момент сил трения вращающегося блока 98,1 Н×м. Найти разность натяжения нити по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением 2,36 рад/с². Блок считать однородным диском.

[ 1,08 кН]

74. Блок массой 1 кг укреплен на конце стола. Гири 1 и 2 одинаковой массы по 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол k = 0,1. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силы натяжения нитей. Блок считать однородным диском. Трением в блоке пренебречь.

[3,53 м/с²; 6,3 Н; 4,5 Н]

75. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.

[24 Дж]

76. Обруч радиуса r скатился без проскальзывания с горки высотой h. Найти скорости и ускорения точек A и B обода. (А - наивысшая точка обода, В - находится на 1/4 окружности по направлению вращения).

[ ; ; ]

77. На вертикальной оси укреплена горизонтальная штанга, по которой могут свободно перемещаться два груза с массами m ₁ и m ₂, связанные нитью длины l. Система вращается с угловой скоростью w. На каких расстояниях от оси будут находиться грузы в равновесии? Чему равны при этом сила натяжения нити и кинетическая энергия грузов? Вернутся ли грузы в положение равновесия, если их сместить из этого положения на малое расстояние?

[ ; ; равновесие неустойчивое;

; ]

78. Шар диаметром 6 см и массой 0,25 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения 4 об/с. Найти кинетическую энергию шара.

[ E _к= 0,1 Дж]

79. Диск диаметром 60 см и массой 1 кг вращается вокруг своей оси, проходящей через центр перпендикулярно к его плоскости, с частотой 20 об/с. Какую работу А надо совершить, чтобы остановить диск?

[ А = -355 Дж]

80. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой 5 об/с, равна 60 Дж. Найти момент импульса L вала.

[ L = 3,8 кг×м²/с]

81. Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом 78 кг, причем на колеса приходится масса 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.

[ Е _к = 253 Дж]

82. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 7,2 км/ч. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути.

[ S = 4,1 м]

83. Тело массой m совершает мертвую петлю, соскальзывая с минимально необходимой для этого высоты. С какой силой тело давит на опору в точке А, радиус-вектор которой составляет угол a с вертикалью? Трением пренебречь.

[ F _н = 3mg(1- cos a) ]

84. С какой наименьшей высоты должен съехать велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму «мертвой петли» радиусом 3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Масса m велосипедиста вместе с велосипедом 75 кг, причем на колеса приходится масса m_o = 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.

[ = 7,56 м ]

85. Автомобиль массой 1000 кг движется со скоростью 36 км/ч по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны 50 м. С какой силой давит автомобиль на мост в середине? С какой минимальной скоростью должен двигаться автомобиль для того, чтобы в верхней точке он перестал оказывать давление на мост?

[7,8 кН; ~ 80км/ч ]

86. Автомобиль массой 2000 кг движется со скоростью 36 км/ч по вогнутому мосту, имеющему радиус кривизны 100 м. С какой силой давит автомобиль на мост в середине?

[21,6 кН]

87. Найти линейные скорости движения центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости 0,5 м, начальная скорость всех тел равна нулю. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.

[ ; v ₁ = 2,65 м/с; v ₂ = 2,56 м/с; v ₃ = 2,21 м/с; =3,13 м/с ]

88. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за 1 мин частоту вращения от 300 об/мин до 180 об/мин. Момент инерции колеса равен 2 кг×м². Найти угловое ускорение колеса, момент сил торможения, работу сил торможения и число оборотов, сделанных колесом за 1 мин.

[ e = - 0,21 рад/с²; M = - 0,42 Н×м; A = - 630 Дж; N = 240 об.]

89. Однородный стержень длиной 85 см подвешен к горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую скорость надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?

[ v = 7,1 м/с ]

90. Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой 10 об/мин. Человек массой 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой.

[ n ₂ = 22 об/мин ]

91. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом 1 м вращается с частотой 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 2,94 до 0,98 кг×м ²? Считать платформу однородным диском.

[ n ₂ = 21 об/мин ]

92. Человек массой 60 кг находится на неподвижной платформе массой 100 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы 4 км/ч. Радиус платформы 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой.

[ n = 0,49 об/мин]