Вопрос. Гидростатическое давление

гидростатическое давл. - нормальное напряжение (напряжение сжатия) в точке, распол. внутри покоящейся жидкости: где - сила давления жидкости, приходящаяся на площадку, содержащую рассматриваемую точку.

свойства гидростатического давления:

-гидростатическое давление в данной точке всегда нормально к площадке, на которую оно действует;

-гидростатическое давление в данной точке не зависит от ориентации (угла наклона) площадки;

-гидростатическое давление зависит от координат рассматриваемой точки внутри жидкости и от внешнего давления, приложенного к свободной поверхности жидкости.

Различают три вида гидростатического давления в точке жидкости:

-абсолютное(давление с учетом атмосферного давления)

-избыточное (манометрическое) (превышение абсолютного давления в точке над атмосферным давлением)

-вакуумметрическое (вакуум) (недостаток абсолютного давления в точке до атмосферного)

Рассмотрим три случая покоя жидкости. Для каждого случая запишем уравнения, позволяющие рассчитывать гидростатическое давление в точке жидкости:

1 СЛУЧАЙ: (среди массовых сил на жидкость действует только сила тяжести)

Абсолютное давление в точке жидкости равно:

где - абсолютное давление на свободной поверхности жидкости;

- глубина погружения рассматриваемой точки.

Данная формула – осн. уравнение гидростатики.

, где - весовое давление

Из формулы следует, что внешнее давление, приложенное к свободной поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково.

Если р₀ = р_атм, то уравнение принимает вид:

В случае открытых сосудов, когда р₀ = р_атм, избыточное давление в точке жидкости равно весовому давлению: р = р_в = rgh

отсюда , где - пьезометрическая высота, соответствующая избыточному давлению.

Для воды избыточное давление на глубине равно .

В случае вакуума: ;

Гидростатическое давление в точке жидкости измеряют:

-в единицах силы на единицу площади (Н/м²; кгс/см²);

-высотой столба жидкости (м вод. ст.; м рт. ст.).

-Вакуум дополнительно измеряется в долях атмосферы.

В рассматриваемом случае свободная поверхность жидкости – горизонтальная плоскость.

Уравнение свободной поверхности представляется в виде:

 

2 СЛУЧАЙ: (на жидкость действует система массовых сил - сила тяжести и центробежная сила)

Абсолютное давление в точке покоящейся жидкости равно:

где - угловая скорость вращения цилиндра с жидкостью;

- горизонтальное расстояние от вертикальной оси цилиндра до рассматриваемой точки;

- глубина погружения точки в жидкости от вершины параболоида.

Если , то

В данном случае свободная поверхность жидкости называется параболоидом вращения.

Уравнение свободной поверхности жидкости во вращающемся цилиндре получено в следующем виде:

Максимальный подъем жидкости будет происходить у стенок.

3 СЛУЧАЙ: (на жидкость действует система массовых сил – сила тяжести и сила инерции равноускоренного прямолинейного движения).

Избыточное давление в точке жидкости, размещенной в цистерне, определяется уравнением:

где - соответственно вертикальная и горизонтальная координаты точки в жидкости;

- ускорение прямолинейного движения.

Координатная система в этом случае привязана к центру дна цистерны.

Уравнения свободной поверхности жидкости представляются в следующем виде: ,

Для всех вышеотмеченных случаев равновесия жидкости, уравнения расчета давления и вертикальной координаты свободной поверхности жидкости получены путем интегрирования основного дифференциального уравнения гидростатики и дифференциального уравнения поверхности равного давления: ,

 

10 вопрос. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

В разных точках давление р имеет неодинаковое значение, т. е. р = р (х, у, z)

Основная задача гидростатики — исследование распре­деления давления в жидкости и на границах между жидкостью и различными поверхностями.

Рассмотрим равновесие массы жидкости в объеме элементарного прямоугольного параллелепипеда.

 

 

Действие окружающей параллелепипед жидкости на его грани заменим силами давления жидкости с учетом свойств гидростатического давления.

Пусть давление в точке, находящейся в центре параллелепипеда, равно р.

Кроме давлений, действует массовая сила.

Проекции этой силы, отнесенной к массе, т. е. ускорения, обозначим X, Y, Z.

найдем давления на всех шести боковых гранях параллелепипеда, такие давления показаны только в направлении оси х.

Сумма проекций сил на оси х: Произведя сокращения, получим:

В то же время: , где mX – проекция массовой силы на ось х, V – объём жидкости

Отсюда следует: изменение давления р на единицу длины в каком-нибудь направлении (в данном случае в направлении оси х) = про­екции массовой силы, отнесенной к объему жидкости.

Аналогичные уравнения получим, проектируя силы на ось y и на ось z.

три уравнения равновесия:

, ,

 

 

11 вопрос. Основное уравнение гидростатики

…Умножим систему уравнений на dх, dу, dz и результат их сумми­рования запишем в виде:

Левая часть уравнения - пол­ный дифференциал давления р, по­этому ур-ие принимает вид: (1)

Сумма в скобках правой части уравнения выражает энергию, отнесенную к массе.

Выражение в скобках в правой части уравнения при ρ = const - полный дифференциал некоторой функции U (х, у, z), т. е.:

С учетом этого уравнение принимает вид:

Функцию U (х, у, z) называют потенциалом массо­вых сил, или силовой функцией. Силы, для которых существует эта функция, называют силами, имеющими потенциал.

Проинтегрируем уравнение (1).

Будем считать, что жидкость находится под действием силы веса и ось z направлена вверх.

Ось у направлена перпендикулярно к плоскости чертежа.

При этих условиях: X = 0; Y = 0; Z = - g,

С учетом этого уравнение (1) принимает вид: (2)

На свободной поверхности жидкости в резервуаре давление р₀. Давле­ние в любой точке жидкости равно р.

Уравнение (2) с учетом пределов интегрирования, как показано на рисунке, запишем так: , (3)

отсюда — осн. ур-ие гидростатики. Левая часть уравнения относится к точке, в которой давление р, а правая — к точке на поверхности воды, где давление р₀.

 

12 вопрос Геометрический смысл основного уравнения гидростатики

— осн. ур-ие гидростатики

Геометрический смысл уравнения:

- величина z фиксиру­ет положение точки по отношению к плоскости хОу, называемой плос­костью сравнения.

- ординату z называют высотой положения, или геометрической высотой.

При р = р₀ имеем z = z₀.

Очевидно, что величина р/у имеет линейную размерность.

Она представляет собой высоту, на которую жидкость может поднять­ся под влиянием давления.

Эту высоту можно измерить. если поместить в жидкость вертикальную закрытую сверху трубку, из которой пол­ностью выкачан воздух.

Высоту р/у называют высотой давле­н и я, или приведенной высотой. Она представляет собой высоту стол­ба жидкости, вес которого при давлении, равном нулю на его свобод­ной поверхности, уравновешивает давление в данной точке жидкости.

 

13 вопрос. энергетический смысл осн. ур-ия гидростатики

удельная энергия- Энергия, отнесенная к единице веса жидкости.

Размерность удельной энергии равна размерности энергии (работы), деленной на размерность силы.

Единица удельной энергии [Е] — м.

Удельная энергия положения час­тицы - Часть удельной потенциальной энергии частицы жидкости, зависящая от ее положения относи­тельно условной горизонтальной плоскости, количественно равной z.

Удельная энергия давления частицы -Часть удельной потенциальной энергии частицы жидкости, зависящую от ее давления, количественно равную р/у.

-уд. Пот. энергия частицы.

геометрическ и й напор - величина z в данной точке жидкости.

гидростатическим напором - сумма z+р/γ = Н

из p - p₀ = γ (z₀ - z) = γh => p = p₀ + γh (Па), где h - глубина погружения частицы жидкости под ее поверхность.

Это тоже осн. уравнение гидростатики, Разница между ними только в системе отсчета вертикальных расстояний (z и h).

Форма уравнения удобна при изуче­нии движения жидкости, т.к. сумма z + р/γ входит в уравнение движения жидкости. Форма уравнения p = p₀ + γh удобна в расчетах давле­ния на поверхности и в методике измерения давления в жидкости.

Величина р является абсолютным, или полным, давлением, р₀ – начальным давлением.

Произведение γh — вес столба жидкости высотой h с площадью основания, равной единице (весовое давление).

 

 

Вопрос. З акон Паскаля

 

закон Паскаля: давление, прило­женное на граничной поверхности жидкости, находящейся в равно­весии в замкнутом резервуаре, передается всем частицам жидкости по всем направлениям без изменения.

Действие многих гидравли­ческих машин основано на законе Паскаля.

Существует оригинальное приложение этого закона. Предположим, что требуется обжать какое-нибудь тело с одинаковой во всех его точках силой. Поместив тело в замкнутый резервуар с жидкостью и приложив силу к граничной поверхности жидкости, получим равномерное по всей поверхности сжатие тела.

15 вопрос Избыточное и вакуумметрическое давление

 

Запишем осн. уравнение гидростатики p = p₀ + γh заменив на р_а: p = p_a + γh (6)

Разность между полным давлением и атмосферным может быть положи­тельная и отрицательная.

Разность р - р_а - избыто ч н ое, или манометрическое давление, если она положительная.

Следовательно, γh — избыточное дав­ление, т. е. давление сверх атмосферного.

Если разность р — р_я отрицательная, то разность р_а — р положительная. Недостаток давления до атмосферного р_а — р называют вакуумом. применяют термин — вакуумметрическое давление.

Пьезометрическая высота h_п - Высота столба жидкости, вес которого при атмосферном давлении на его свободной поверхности уравновешивает давление в данной точке жидкости.

Из уравнения (6) получим , где р_м - манометрическое, или избыточное давление.

пьезометрический напор - Сумма пьезометрической высоты в данной точке жидкости и высоты положения этой точки относительно плоскости сравнения, т. е. z + h_м

Вакуумметрическая высота:

В технике обычно измеряют избыточное и вакуумметрическое давления. Поясним принцип измерения h_п и h_вак.

 

На рисунке изображен резервуар, в котором на поверхности жидкости давление р > р_а.

Давление в месте присоединения стеклянной трубки, называемой пьезометром, р = р₀ + γh.

На поверхности жидкости в пьезометре давление атмосферное. Для соблюдения равновесия необходимо, чтобы р = р_а + γh_п, откуда получим h_п. Следовательно, измерив h_п и умножив его на удельный вес жидкости, найдем избыточное (манометрическое) давление.

Если в резервуаре на поверхности жидкости p₀ = p_a, то уровень жидкости в пьезометре расположится на такой же высоте, как и в резервуаре.

Принцип определения давления, которое меньше атмосферного, показан на рисунке.

 

С помощью изогнутой труб­ки измеряется вакуумметрическая высота h_вак. Такую трубку называют вакуумметром, или обратным пьезометром.

16. Поверхность равного давления. - Поверхность, во, всех точках кот. Значения гидростат. Давления равны между собой.

эквипотенциальная поверхность- Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал U. Следовательно, поверх­ность уровня одновременно является и эквипотенциальной поверх­ностью.

При P=const и p<>0; dP=0 ур-ие равного давления имеет вид: Xdx+Ydy+Zdz=0 – ур-ие поверхности жидкости равного давления.

Если на покоящуюся жидкость действует одна внешняя сила – сила тяжести, тогда X=0, Y=0, Z=-g.

Ур-ие имеет вид: -gdz=0 или z=const.

Поверхность равного давления представляет семейство горизонтальных плоскостей.

Свободная поверхность – поверхность на границе жидкой и газообразной сред. На нее приложено пост. Давление =

атмосферному.

Вывод ур-ия:

dP=-

P=-

P=

Тогда: P= , отсюда можно записать: или - осн. Закон гидростатики.

С помощью уравнения Xdx+Ydy+Zdz=0 определяют форму поверхности жид­кости при относительном её равновесии.

Рис. 16