Методические указания по выполнению контрольной работы по разделу «теория вероятностей»

Пример 1. В ящике находится 10 деталей. Из них 3 дефектные. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что:

а) все детали дефектные (событие А);

б) только одна деталь дефектная (событие В);

в) все три детали годные (событие С);

г) хотя бы одна деталь дефектная (событие D).

Решение. Используем классическое определение вероятности.

а) Событие А = {выбранные три детали дефектные};

Элементарное событие в данной задаче - комбинация (сочетание) из трех деталей. - общее число способов выбрать 3 детали из имеющихся 10 деталей. (имеется всего один вариант выбора 3 дефектных деталей)

.

б) Событие В = {из трех выбранных деталей 1 деталь дефектная, две детали без дефекта};

,

где - количество вариантов, благоприятствующих появлению события В, при которых 1 дефектная деталь выбирается из группы 3 дефектных и 2 бездефектные детали выбираются из группы 7 бездефектных деталей

Следовательно, .

в) Событие С = {выбранные три детали бездефектные}

.

г) Событие D = {хотя бы одна из трех выбранных деталей бездефектная}. Рассмотрим противоположное событие .

= { среди трех выбранных деталей нет дефектных}. Так как , то .

Пример 2. Два студента (Петров и Иванов) договорились о встрече в определенном месте между 12.00 и 13.00 часами. Пришедший первым до истечения часа ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Построить множество элементарных исходов по описанию эксперимента и подмножество, соответствующее событию А = {встреча состоится}. Найти вероятность этого события.

Решение. Используем геометрическое определение вероятности. Наблюдаемый результат- пара координат (х, у), где х - время прихода Петрова, а у – время прихода Иванова. Время исчисляется в минутах, начиная с 12.00 часов

 

 

. Точки (х,у) заполняют квадрат стороной 60. Встреча состоится, если (пришедший первым ждет не более 20 минут). Неравенство с модулем заменим двойным неравенством

, .

Решения неравенства - это точки нижней полуплоскости, ограниченной прямой .

Совокупность решений неравенства образует верхнюю полуплоскость с границей .

Решения системы неравенств – это точки области, полученной пересечением полуплоскостей. Т.к. , , то точки, когда состоится встреча, заполняют фигуру А (показана штриховкой). Используем геометрическое определение вероятности:

.

Площадь фигуры . Здесь - площадь не заштрихованных треугольников.

Пример 3. Электрическая цепь прибора составлена по схеме, приведенной на рисунке. Отказы элементов являются независимыми и совоку4пными событиями. Известна надежность p_k k- го элемента p₁=p₂=0.7; p₃=0.8; p₄=0.9. Найти вероятность надежности схемы P(A).

Решение. Разобьем схему на блоки, состоящие из последовательных соединений. Блок I состоит из элемента 1.

Блок II состоит из параллельного соединения элементов 2 и 3.

Блок III – из элемента 4.

Вероятность того, что схема работает, равна P(A)=P_I·P_II·P_III.

P_I – вероятность того, что I блок исправен.

P_II· - вероятность того, что II блок исправен.

P_III - вероятность того, что III блок исправен.

P_I = p₁

Вероятность того, что II блок исправен:

Вероятность того, что III блок исправен:

Искомая вероятность что цепь сработает:

Пример 4. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекается ещё 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Решение. Рассмотрим предположения (гипотезы):

Н₁={на первую игру выбирают два новых мяча}.

Н₂={на первую игру выбирают один новый мяч, и один игранный}.

Н₃={на первую игру выбирают два игранных мяча}.

Вероятности гипотез соответственно равны:

, , .

Проверка: - выполняется: .

Пусть, событие А = {вторая игра проводится двумя новыми мячами}. Тогда условные вероятности следующие:

, ,

Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:

 

Пример 5. а) На грядке высажено 8 луковиц определенного сорта тюльпанов. Всхожесть луковиц 80%. Какова вероятность, что взойдет не менее 5, но не более 7 растений.

Решение. Событие А = {взойдет отдельный тюльпан}.

Событие В = {взойдет от 5 до 7 растений}.

Пусть событие В₅={взойдет ровно 5 тюльпанов}, событие В₆= {взойдет ровно 6 тюльпанов}, событие В₇ ={взойдет ровно 7 тюльпанов}.

Вероятность события , состоящего в том, что событие А произойдет ровно k раз при n независимых испытаниях, рассчитывается по формуле Бернулли:

, где .

В частности,

,

,

.

В данном случае имеем . По теореме сложения для несовместных событий получаем

.

в) Посажено 100 луковиц. Вероятность всхода 80%. Какова вероятность, что взойдут не менее 75, но не более 90.

Решение. Испытания проводятся по схеме Бернулли. Если число испытаний n велико, то используют интегральную теорему Лапласа:

, где - функция Лапласа, значение которой берем из таблицы.

, .

По условию n=100, p=0,8, q=0,2, k₁=75, k₂=90. Следовательно,

Имеем:

(Здесь учтено, что функция Лапласа нечетная ).

Пример 6. Составить закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) Х - оценки, полученной на экзамене наугад выбранным студентом. Известно, что в группе из 20 человек 2 студента получили оценку – «2», 6 студентов – «3», 10 студентов – «4» и 2 студента – «5». Построить график функции распределения. Вычислить числовые характеристики

Решение: ДСВ Х -отметка студента, которая может принять значения 2; 3; 4 или 5. Вероятность события {X=2} равна P(X=2)=p₁= 2/20, (число двоек - 2, а общее число студентов 20). Вероятности других возможных значений равны:

, , .

Следовательно, закон распределения ДСВ имеет вид:

	0,1	0,3	0,5	0,1

Контроль: 0,1+0,3+0,5+0,1=1

Найдем числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание:

.

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Функция распределения имеет вид:

График функции распределения имеет вид:

 

Пример 7. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, определяемое плотностью при , при . Найти вероятность того, что за время t=25 часов элемент не откажет, если известно что .

Решение. - непрерывная случайная величина-время безотказной работы устройства, которое работает с момента х=0, а в момент х происходит отказ. Длительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с функцией распределения .

- это вероятность отказа элемента за время длительностью .

Вероятность безотказной работы за время длительностью – это вероятность противоположного события. Эта функция называется функцией надежности: . Вероятность безотказной работы за х=t=25 часов равна

Пример 8. Из группы населения случайным образом отобрано 10 человек и собраны их доходы за истекший год в тысячах рублей х₁, х₂, х₃…х_10. Найти выборочное среднее исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и, применяя в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 100 тыс. рублей.

х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	х10

Решение.

Найдем выборочную среднюю:

Вычислим выборочную дисперсию .

, n=10.

Исправленная выборочная дисперсия:

.

.

Чтобы найти процент группы населения, которая имеет доход, превышающий 100 тыс. руб. используем формулу попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток:

, где – функция Лапласа.

В данном случае принимаем следующие значения параметров:

= 100 тыс.руб., тыс.руб., тыс. руб., тыс. руб. (нет ограничений сверху). Имеем:

По таблице находим: , следовательно, .

 

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Н.С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1,2. 1972-2000.

2. А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. Краткий курс математического анализа для втузов. Москва: “Наука”. Главная редакция физико-математической литературы, 1973.

3. Г.М. Берман, Сборник задач по курсу математического анализа (для втузов). Москва: “Наука”. 1985.

4. П. Е. Данко, и др. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. В 2-х ч. 1980 – ч.1, 1984 – ч.2.

5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998.

6. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М: Высшая школа, 1999.

 

 

Дополнительная

1. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ, 2000.

2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей – М.: Высшая школа, 1998.

3. Учебные задания для типовых расчетов по теории вероятностей /ДГТУ. Ростов н/Д, 1996.

4. Сборник задач по математике для вузов Ч. З. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для втузов / Под редакцией А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1990.