Об’ємні пружні хвилі у кристалах

Об’ємні акустичні хвилі – це розповсюджуючі періодичні деформації пружного середовища. Хвильове рівняння для пружної акустичної хвилі з врахуванням закону Гука має вигляд.

(1)

В ізотропному пружному середовищі одну з осей (наприклад x₁) направляють вздовж розповсюдження акустичної хвилі а дві інші в перпендикулярній площині. Рівняння (1) можна звести до двох рівнянь. Перше описує розповсюдження хвилі, у котрій U=(U_x,0,0) і має вигляд

Друге рівняння описує розповсюдження хвилі, поляризованої в площині (x₂,x₃). Враховуючи що вісь x₂ направлена вздовж осі OY, це рівняння можна записати у вигляді

Хвилі першого типу називають поздовжніми, а другого поперечними. Їх швидкості w_l і w_t

Для кожного напрямку у кристалі:

1) існує три види хвиль;

2) частота цих хвиль визначається законом дисперсії:

,

де фазова швидкість w залежить від орієнтації хвильового вектора по відношенню до кристалічних осей.

3) у випадку, коли хвильовий вектор паралельний одному з напрямків симетрії кристала, одна з хвиль є чисто поздовжньою, а дві інші – чисто поперечними. У загальному випадку ці властивості не зберігаються, а при будь-якому напрямку вектор поляризації має три компоненти. Але і в цьому випадку буде, що в одній із хвиль поздовжня компонента більша поперечної, а в іншому випадку – поперечна більша поздовжньої. У цьому випадку говорять про квазіпоздовжню і квазіпоперечну хвилі.

В загальному випадку швидкість звуку w є достатньо складною функцією напрямку , яка визначається симетрією і пружними модулями кристала.

У фізиці твердого тіла найбільш цікавим є високочастотний звук – ультразвук з частотами від декілька одиниць до кількох сотень мегагерц і гіперзвук з частотами, які перевищують 1ГГц.

 

Поверхневі акустичні хвилі

Особливим видом пружних хвиль є хвилі, які розповсюджуються поблизу поверхні тіла і не розповсюджуються у глибину сполуки. Такі хвилі називають поверхневими хвилями.

Для простоти розглянемо розповсюдження поверхневих звукових хвиль в ізотропному неп’єзоелектричному середовищі.

Виберемо систему координат, в котрій вісь z направлена по зовнішній нормалі до вільної поверхні, яка займає напівпростір . Розглянемо хвильове рівняння

(1)

Розглянемо монохроматичну хвилю, що розповсюджується вздовж осі ОХ. Відповідно маємо розв’язок (1) у вигляді

(2)

Підставивши цей вираз в (1), отримаємо для функції рівняння

(3)

Розв’язок рівняння (3) є

(4)

Видно з (3), що якщо , то функція U(z) є періодичною функцією, а саме звичайною плоскою хвилею, яка не зникає у всьому об’ємі тіла.

Якщо , то функція

(5)

відповідає необмеженому зростанню деформації по напрямку в глибину тіла так як (z<0), що не відповідає дійсності. Тому розв’язок рівняння (3), яке має фізичний зміст є

U(x,z,t)=const∙e^sz+i(kx-wt), (6)

де

Це (6) рівняння відповідає хвилі, експоненціально затухаючій в глибині тіла, а саме розповсюджуваній тільки поблизу його поверхні.

 

Лекція №2