Розповсюдження пружних хвиль в п’єзоелектричних кристалах

П’єзоелектрики–це такі кристали, у котрих під впливом однорідної деформації виникає дипольний момент, а таким чином і виникає електричне поле, яке буде пропорційне деформації. Наявність п’єзоелектричних властивостей пов’язано з симетрією кристала. Пояснимо це на моделі іонної решітки, рис.

 

 

Рис. Плоска іонна решітка з центром симетрії (об’ємно центрована)

а) недеформована решітка

б) решітка деформована на розтяг.

 

Видно, що якщо решітку однорідно деформувати, то вона поляризується (б).

Розглянемо другий випадок рис.

Якщо гексагональну решітку деформувати на розтяг у напрямку показаному стрілкою, то ця решітка поляризується, поскільки „центри тяжіння” позитивних і від’ємних іонів при цьому зсуваються відносно один одного рис. в). Навпаки якщо помістити таку решітку в однорідне електричне поле, вона деформується. Деформація кристалу пропорційна прикладеному електричному полю—називають прямим п’єзоелектричним ефектом; виникнення електричної поляризації при деформації—зворотнім п’єзоелектричним ефектом.

П’єзоелектричний ефект здійснюється у цілого ряду кристалів CdS, ZnO, GaAs, InSb, Te та інших. Якщо в п’єзоелектрику розповсюджується періодично пружна хвиля, а саме хвиля деформації, то вона супроводжується електричними хвилями, які мають просторову і часову періодичність цієї хвилі. Можна сказати, що в п’єзоелектриках всяка пружна хвиля супроводжується хвилею поздовжнього електричного поля (ми його будемо називати п’єзоелектричним полем)

Розглянемо, як впливає п’єзоелектричний ефект на розповсюдження звукової хвилі в п’єзоелектриках. Ми вже знаємо, що в п’єзоелектрику під дією деформації виникає додатковий дипольний момент, на котрий діє електричне поле. Тому при наявності електричного поля в п’єзоелектрику повинна з’явиться добавка до тензора напружень, пропорційна полю Е. Крім того, утворюється при деформації додаткова поляризація, що дає додатковий вклад в електричну індукцію. В результаті у п’єзоелектриків з’явиться додатковий вклад в електричну індукцію, пропорційний тензору деформації U.

Визначимо структуру тензора напруження у п’єзоелектриках. Для цього розглянемо вільну енергію деформованого п’єзоелектрика. У виразі для вільної енергії , разом з квадратичними членами по деформації U_ik, нам необхідно врахувати члени пропорційні добутку E_i ∙U_kl.

Найбільш загальний вид вільної енергії у нашому наближенні слідуючий

де ε_ik –тензор діелектричної проникливості

β_i’kl –тензор третього рангу, що називається тензором п’єзоелектричних модулів.

Тензор напружень це похідна вільної енергії по вектору механічного зміщення.

при Е= const

де С_iklm —тензор коефіцієнтів пружності в адіабатичному наближенні

Е_l —компонента електричного поля.

Відповідно електрична індукція дорівнює

при =const

де ε_ik –тензор коефіцієнтів пружності в адіабатичному наближенні

Е_k —компоненти електричного поля

Таким чином рівняння руху в п’єзоелектриках запишемо:

На практиці цікавими є задачі про розповсюдження або чисто поздовжніх, або чисто зсувних хвиль для деяких особливих напрямків. Тому це рівняння можна обмежити розглядом тільки випадку розповсюдження плоскої вздовж осі х. При такому спрощенні хвильове рівняння для п’єзоелектричного середовища запишеться у вигляді

При відсутності об’ємного заряду, що спостерігається в монокристалічних діелектриках і в кераміці divD_{(комп. вект. електр.поля)} =0 і то, рівняння може прийняти вигляд

З рівняння випливає, що звукова хвиля у цьому випадку у п’єзоелектрику розповсюджується зі швидкістю . Фізичний зміст цього явища полягає у тому, що поляризація п’єзоелектрика викликає появу електростатичних полів, котрі суттєво впливають на розповсюдження звукових хвиль. Для плоских хвиль суттєво тільки поздовжнє електростатичне поле, тому що поздовжня компонента п’єзоелектричної поляризації створює заряди, котрі знаходяться один від одного на відстані половини довжини звукової хвилі. Таким чином, розповсюдження плоских звукових хвиль буде супроводжуватися значними електричними полями тільки у тому випадку, коли напрямок розповсюдження і руху частинок в хвилі такий, що виникає поздовжня компонента п’єзоелектричної поляризації. Такі звукові хвилі, супроводжуються сильними п’єзоелектричними полями, називаються п’єзоелектрично активними полями. У кожному п’єзоелектричному кристалі існує напрямок, у котрому можливе таке розповсюдження хвиль.

В інших напрямках в кристалі, коли поздовжня компонента п’єзоелектричної поляризації дорівнює нулю , випливає, що звукова хвиля розповсюджується зі швидкістю

В п’єзоелектриках розповсюджується акусто-електромагнітні хвилі, а саме існує зв’язок акустичних хвиль з електромагнітними. Це призводить до того, що розповсюдження в п’єзоелектричному кристалі електромагнітної хвилі супроводжується розповсюдженням звукової хвилі зі швидкістю, рівною фазовій швидкості електромагнітної хвилі. І навпаки, звукова хвиля супроводжується розповсюдженням поперечної електромагнітної хвилі, що створюється струмом зміщення, який обумовлений поляризацією п’єзоелектрика. Енергії створення цих електромагнітних в звукових, і звукової в електромагнітній дуже малі.

Найбільший практичний інтерес представляють пружні поверхневі хвилі в кристалічних п’єзоелектриках, поскільки в них здійснюються прості і ефективні методи збудження і прийому акустичних хвиль. Врахування п’єзоелектрики приводить до зміни акустичних характеристик ППХ: збільшення фазової швидкості хвилі і зміни структури зміщень. ППХ в противагу об’ємних пружних хвиль в п’єзоелектриках, поздовжня компонента електричного поля Е₁₁ не дорівнює нулю і дві компоненти Е₁₁ і Е₁ електричного

поля одного порядку величини.

 

 

Лекція №3