І Розповсюдження звуку в пружному середовищі. Елементи теорії пружності

Звук – це відносно низькочастотні пружні хвилі, котрі розповсюджуються у сполуці. Розглянемо як вони розповсюджуються в матеріалах, де немає вільних електронів – а саме в діелектриках. Для цього, познайомимося з елементами теорії пружності.

 

Тензор деформації

Розглянемо кристалічні тверді тіла. Як відомо у кристалах атоми розташовані в вузлах періодичної кристалічної решітки. А саме вузли є положеннями рівноваги: атоми можуть зміщуватися з положення рівноваги і при цьому виникають обертаючі сили. В першому наближенні ці сили пропорційні зміщенням і їх називають пружними силами.

Нас будуть цікавити такі коливання, довжини хвиль, у котрих набагато більші відстані між частинками. Це означає, що зміщення великого числа сусідніх атомів мало відрізняється від одного. Дане положення дозволяє відволіктися від дискретності твердого тіла і розглядати його як суцільне середовище – пружний континіум. Але є відмінність цього середовища від звичайного газу. Справа в тому, що обертаючі сили, виникають в твердому тілі, суттєво залежать від напрямку зміщення атомів. Тому пружні властивості твердого тіла також залежать від виду деформації – природне середовище твердого тіла є анізотропним.

Розглянемо, як описати деформацію такого середовища і виникаючої у ньому сили. Для математичного опису деформації діють слідуючим чином.

Виділимо елемент суцільного середовища. Нехай до деформації його координати були . Після деформації цей елемент переміщується в точку r. Очевидно, що мірою деформації не може служити вектор зміщення або в компонентах (i=1,2,3…) (1). Справжня деформація виникає тільки в тому випадку, коли зміщення буде різним для різних точок тіла т. ч. вектор буде функцією координати до деформації елемента U середовища .

Розглянемо пов’язану з деформацією зміною відстані між двома елементами, розташованими близько один від одного. Не хай відстань між цими елементами до деформації dL, а після деформації – dL`. Легко побачити, що до деформації квадрат довжини (dL)² =∑dx²_i, після деформації

Розклавши вектор зміщення в ряд Тейлора і врахувавши перший член маємо

 

Другий член в правій частині представляє собою подвійну суму по і та k, котра не залежить від індексу сумування. Тому в ній можна замінити індекси і ↔ k, і взяти півсуму отриманих результатів. У реальності отримаємо

Видно, що зміна відстані між точками при деформації середовища характеризується симетричним тензором

– ця величина називається тензором деформації.

Практично у всіх випадках деформації твердих тіл є малими. Тоді у виразі можна знехтувати 3 членом, як величиною другого порядку малості. В лінійному наближенні тензор деформації має вигляд

Тензор деформації не залежить від властивостей кристалу, є макроскопічною величиною і характеризує міру деформації.

 

Тензор пружності

Вияснимо, як описуються сили, які діють на елементи пружного середовища. Якщо одна частина тіла діє на сусіднє з деякою силою, то говорять, що тіло знаходиться в пружному стані. На елементи об’єму тіла, яке знаходиться в пружному стані, діє два типи сил. По-перше, є об’ємні сили (наприклад сили ваги), які діють на всі елементи тіла; їх величина пропорційна об’єму елемента. Така сила пропорційна площі поверхні елемента. Така сила, віднесена до одиниці площі, називається пружністю. У недеформованому тілі ці сили відсутні. У загальному випадку сила прикладена до поверхні направлена під кутом до нормалі цієї поверхні. Тому її характеризують тензором другого рангу σ_ik, перший індекс і – характеризує напрямок сили, а другий k–напрямок нормалі до поверхні. Цей тензор називають тензором пружності.

 

Закон Гука

 

Пружні тіла характеризуються тим, що наявність в них деформацій, визвана зовнішніми силами, приводить за собою до появи зовнішніх напружень, котрі направлені на знищення цих деформацій. Тому при знятті зовнішніх сил пружне тіло повертається в початковий стан, і одночасно зникають як деформації, так і напруги. Таким чином у кристалах деформацій і напруги взаємопов’язані: напруги визначають деформації, а деформації – напруги. Малі деформації викликають малі напруги і відповідно зростання деформування несе за собою зростання напруг.

У випадку достатньо повільної зміни деформації у часі, виникаючі напруги залежать від деформацій в той самий момент часу. При малих деформаціях слід очікувати, що виникаюча напруга повинна бути пропорційною. Коефіцієнт пропорційності між тензором σ_ik –напруги, і U_lm –деформації (тензор другого рангу) є тензор четвертого рангу c_iklm –тензор модуля напруженості.

Таким чином зв’язок між σ_ik і U_lm можна представити у вигляді

це співвідношення відображає закон Гука.