Выборочный метод. Статистические оценки

Выборочный метод – статистический метод исследования свойств генеральной совокупности на основе изучения выборочной совокупности. Суть выборочного метода состоит в том, что по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) делается вывод о ее свойствах в целом.

Выборочные характеристики, очевидно, отличаются от истинных значений числовых характеристик генеральной совокупности. Для их нахождения используется два вида оценок: точечные и интервальные.

 

Точечные оценки

 

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Пусть Q – неизвестный параметр теоретического распределения, ^– его статистическая оценка. Оценку можно рассматривать как случайную величину. Для того, чтобы оценка была в определенном смысле наилучшей, к ней предъявляется ряд требований:

Состоятельность. Точечная оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки (n ® ¥) она стремится к истинному значению параметра Q.

Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если она не содержит систематической ошибки, т.е. среднее значение оценки, определенное по многократно повторенной выборке любого объема из одной и той же генеральной совокупности, стремится к истинному значению параметра. Другими словами, математическое ожидание оценки М (Q^*) = Q.

Эффективность. Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию .

Доказано, что выборочная доля повторной и бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной доли .

Доказано, что выборочная средняя повторной и бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка математического ожидания М (Х) (генеральной средней ), т.е.

В качестве оценки дисперсии признака Х в генеральной совокупности D (Х) берется исправленная выборочная дисперсия :

 

,где .

 

В качестве оценки среднего квадратического отклонения признака Х в генеральной совокупности принимается исправленное среднее квадратическое отклонение :

 

, где .

 

Интервальные оценки

 

При некоторых условиях (например, при выборках малого объема) точечная оценка неизвестного параметра может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. В этом случае следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, определяемую двумя числами – концами интервала, которые находят по известной величине выборочной характеристики.

Пусть Q^* – оценка неизвестного параметра Q генеральной совокупности. Вероятности, признанные достаточными для того, чтобы уверенно судить о параметрах генеральной совокупности на основании выборочных характеристик, называются доверительными. Интервал, который с заданной доверительной вероятностью g покрывает неизвестное значение параметра генеральной совокупности, называется доверительным интервалом.

Часто (но не всегда) доверительный интервал выбирается симметричным относительно параметра Q, т.е. , где число D () – наибольшее отклонение выборочного параметра от генерального, которое возможно с заданной вероятностью g. Число D называется предельной ошибкой выборки или ошибкой репрезентативности. Таким образом, доверительный интервал имеет вид: .

Доверительной вероятностью ( или надежностью) оценки Q по Q^* называется вероятность g, с которой осуществляется неравенство: или , т.е. . Обычно в качестве доверительных вероятностей выбирают значения 0,95; 0,99; 0,999.

Величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки n (уменьшается с ростом n) и от доверительной вероятности g (увеличивается с приближением g к единице).

Таким образом, основной задачей при выборочном исследовании является определение ошибки выборки. Доказано, что , где m – средняя ошибка выборки, t – коэффициент кратности средней ошибки (коэффициент доверия). Коэффициент доверия зависит от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки.

 

Формулы средних ошибок простой случайной выборки

 

Оцениваемый параметр	Вид выборки
повторная	бесповторная
Генеральная средняя
Генеральная доля р

 

В таблице:

n – объем выборочной совокупности;

N – объем генеральной совокупности;

– выборочная дисперсия;

w – выборочная доля.

 

Соответствие некоторых значений вероятности g

и коэффициента доверия t

g	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
t		1,5		2,5		3,5

 

Отметим, что коэффициент доверия t и доверительная вероятность g связаны между собой формулой , где F(t) – функция Лапласа, .

Например, доверительный интервал для математического ожидания М (Х) (генеральной средней ) нормально распределенного признака Х в случае повторной выборки объема находится следующим образом .

Отметим, что для выборки большого объема вместо исправленного выборочного среднего квадратического отклонения можно взять просто выборочное среднее квадратическое отклонение .