Случайные величины. Дискретные случайные величины.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ КУРСА

Случайные величины. Дискретные случайные величины.

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Функция распределения

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает любое наперед неизвестное значение из некоторого числового множества. Значение случайной величины зависит от многих случайных факторов, которые до опыта не могут быть учтены.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает значения из некоторого фиксированного конечного или счетного множества. В этом случае значения случайной величины можно пронумеровать.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения может быть задан аналитически, графически и таблично. Закон распределения в табличной форме имеет вид:

 

Х	х 1	х 2	…	xn
Р	р 1	р 2	…	pn

 

В первой строке таблицы содержатся возможные значения случайной величины Х, во второй — вероятности этих значений. При каждом испытании случайная величина Х может принять только одно значение, поэтому события Х = x ₁, Х = x ₂, …, Х = x_n образуют полную группу попарно несовместных событий, и, следовательно, .

Многоугольником (полигоном) распределения дискретной случайной величины называется графическое представление закона ее распределения. Для построения многоугольника распределения в прямоугольной декартовой системе координат надо последовательно соединить точки с координатами , где — возможные значения случайной величины Х, — соответствующие вероятности (i = 1, 2, …, n).

Математическим ожиданием М (Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:

.

 

Дисперсией (рассеянием) D (X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

 

 

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

 

.

Средним квадратическим отклонением s(Х)дискретной случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии:

 

.

 

Функцией распределения (интегральной функцией) случайной величины Х называется функция F (x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х:

.

 

Свойства функции распределения

1. Значения функции распределения принадлежит отрезку [0; 1]:

.

2. — неубывающая функция, т.е. , если .

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то при , при .

4. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее промежутку [ a, b), равна приращению функции распределения на этом промежутке:

Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, …, k, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями, вычисляемыми по формуле Пуассона , где . Формула Пуассона является хорошим приближением формулы Бернулли в случае, когда вероятность события мала (p ® 0, ), а число испытаний n велико. Формулу Пуассона называют законом редких событий. Закон распределения Пуассона случайной величины Х имеет вид:

 

Х				…	k	…
Р				…		…

 

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равны а: M (X) = D (X) = a.

 

Наряду с «предельным» случаем биномиального распределения закон Пуассона связан с задачей о потоке событий.

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Поток характеризуется интенсивностью l или средней плотностью – числом событий, появившихся в единицу времени.

Тогда при нахождении распределения случайной величины Х – числа событий, появившихся за время t, используем закон Пуассона:

 

.

 

Формула возвращает значение вероятности того, что событие А за время t произойдет k раз. В этом случае M (X) = D (X) = l t.

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной на отрезке [ a; b ], если плотность распределения имеет вид:

 

 

График плотности распределения вероятностей изображен на следующем рисунке.

 

Функция распределения для равномерно распределенной случайной величины имеет вид:

 

 

График F (x) изображен на следующем рисунке:

 

Числовые характеристики равномерно распределенной на отрезке [ a; b ] случайной величины находятся по формулам:

 

, , .

 

Измерительные шкалы

 

Любой вид измерения предполагает наличие единиц измере­ния. Единица измерения это та «измерительная палочка», как го­ворил С. Стивенc, которая является условным эталоном для осуществления тех или иных измерительных процедур. В естественных науках и технике существуют стандартные единицы измере­ния, например, градус, метр, ампер и т.д.

Психологические переменные за единичными исключениями не имеют собственных измерительных единиц. Поэтому в боль­шинстве случаев значение психологического признака определя­ется при помощи специальных измерительных шкал.

Согласно С. Стивенсу (1951), существует четыре типа изме­рительных шкал (или способов измерения):

1) номинативная, номинальная или шкала наименований;

2) порядковая, ординарная или ранговая шкала;

3) интервальная или шкала равных интервалов;

4) шкала равных отношений, или шкала отношений.

Процесс присвоения количественных (числовых) значений, имеющейся у исследователя информации, называется кодирова­нием. Иными словами ‒ кодирование это такая операция, с по­мощью которой экспериментальным данным придается форма числового сообщения (кода).

Применение процедуры измерения возможно только четырь­мя вышеперечисленными способами. Причем каждая измери­тельная шкала имеет собственную, отличную от других форму числового представления, или кода. Поэтому закодированные признаки изучаемого явления, измеренные по одной из назван­ных шкал, фиксируются в строго определенной числовой систе­ме, определяемой особенностями используемой шкалы.

Измере­ния, осуществляемые с помощью двух первых шкал, считаются качественными, а осуществляемые с помощью двух последних шкал – количественными.

 

Номинативная шкала (шкала наименований)

 

Номинативная шкала – это шкала, классифицирующая по названию. Измерение в номинативной шкале состоит в присваивании какому-либо свойству или признаку определенного обозначения или символа (численного, буквенного и т.п.). По сути дела, процедура измерения сводится к классификации свойств, группировке объектов, к объединению их в классы, группы при условии, что объекты, принадлежащие к одному классу, идентичны (или аналогичны) друг другу в отношении какого либо признака или свойства, тогда как объекты, различающиеся по этому признаку, попадают в разные классы.

Иными словами, при измерениях по этой шкале осуществляется классификация или распределение объектов (например, особенностей личности) на непересекающиеся классы, группы. Таких непересекающихся классов может быть несколько. Классичес­кий пример измерения по номинативной шкале в психологии ‒ разбиение людей по четырем темпераментам: сангвиник, холе­рик, флегматик и меланхолик.

Номинальная шкала определяет, что разные свойства или признаки качественно отличаются друг от друга, но не подразу­мевает каких-либо количественных операций с ними. Так, для признаков, измеренных по этой шкале, нельзя сказать, что ка­кой-то из них больше, а какой-то меньше, какой-то лучше, а какой-то хуже. Можно лишь утверждать, что признаки, попав­шие в разные группы (классы) различны. Последнее и характе­ризует данную шкалу как качественную. Простейшая номинативная шкала соответствует признаку (свойству), для которого можно определить только его наличие – есть или нет. Такая шкала называется дихотомической, допускает кодирование двумя символами или цифрами. Признак, измеренный в дихотомической шкале, называется альтернативным.

Номинативная шкала позволяет нам подсчитывать количество объектов в каждом классе, а затем работать с частотами с помощью математических методов.

Порядковая (ранговая, ординарная) шкала

Измерение по этой шкале расчленяет всю совокупность из­меренных признаков на такие множества, которые связаны меж­ду собой отношениями типа «больше ‒ меньше», «выше ‒ ниже», «сильнее ‒ слабее» и т.п. Если в предыдущей шкале было несущественно, в каком порядке располагаются измеренные признаки, то в порядковой (ранговой)шкале все признаки распо­лагаются по рангу ‒ от самого большего (высокого, сильного, умного и т.п.) до самого маленького (низкого, слабого, глупого и т.п.) или наоборот.

Типичный и очень хорошо известный всем пример порядко­вой шкалы ‒ это школьные оценки: от 5 до 1 балла. Еще при­мер ‒ судейство в некоторых видах спорта или зрелищных про­граммах, которые также представляют собой вариант ранжирования.

В порядковой (ранговой) шкале должно быть не меньше трех классов (групп).

При кодировании порядковых переменных им можно припи­сывать любые цифры (коды), но в этих кодах (цифрах) обязатель­но должен сохраняться порядок, или, иначе говоря, каждая пос­ледующая цифра должна быть больше (или меньше) предыдущей.

В порядковой шкале также возможен подсчет количества объектов в группах. Установление порядка позволяет применять для измерений ранжиравание и все методы вычислений с применением рангов.

 

Шкала интервалов

 

В шкале интервалов,или интервальнойшкале, каждое из воз­можных значений измеренных величин отстоит от ближайшего на равном расстоянии. Главное понятие этой шкалы ‒ интервал, который можно определить как долю или часть измеряемого свойства между двумя соседними позициями на шкале. Размер интервала ‒ величина фиксированная и постоянная на всех уча­стках шкалы. Для измерения посредством шкалы интервалов устанавливаются специальные единицы измерения; в психологии – стены и стенайны. При работе с этой шкалой измеряемому свойству или предмету присваивается число, равное количеству единиц измерения, эквивалентное количеству имеющегося свойства.

Важной особенностью шкалы интервалов является то, что у неё нет естественной точки отсчета (нуль условен и не указывает на отсутствие измеряемого свойства). Применяя эту шкалу, мы можем судить, насколько больше или насколько меньше выражено свойство при сравнении объектов, но не можем судить о том, во сколько раз больше или меньше выражено свойство.

Только измерение по строго стандартизированной тестовой методике, при условии того, что распределение значений в реп­резентативной выборке достаточно близко к нормаль­ному, может считаться измерением в интервальной шкале. Примером последнего могут служить стандартизованные тесты интеллекта, где условная единица измерения IQ эквивален­тна как при низких, так и при высоких значениях интеллекта.

Принципиально важным является и то, что к эксперимен­тальным данным, полученным в этой шкале, применимо доста­точно большое число статистических методов.

 

Шкала отношений

 

Шкала отношений – это шкала, классифицирующая объекты пропорционально степени выраженности измеряемого свойства.

Шкалу отношений называют также шкалой равных отношений. Особенностью этой шкалы является наличие твердо фиксированного нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака. Шкала отношений является наибо­лее информативной шкалой, допускающей любые математические операции и использование разнообразных статистических методов.

Шкала отношений по сути очень близка к интервальной, по­скольку если строго фиксировать начало отсчета, то любая ин­тервальная шкала превращается в шкалу отношений.

Именно в шкале отношений производятся точные и сверх­точные измерения в таких науках, как физика, химия и др. Измерение по шкале отношений производятся и в близких к психологии науках, таких как психофизика, психофизиология, психогенетика.

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ КУРСА

Случайные величины. Дискретные случайные величины.