Проверка гипотезы о нормальном распределении признака

в генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона

Во многих практических задачах возникает необходимость установить теоретический закон распределения случайной величины по опытному (эмпирическому) распределению, представляющему вариационный ряд. Для этого надо определить вид и параметры закона распределения. Вид закона распределения можно предположить, исходя из теоретических предпосылок, графического изображения выборочного распределения и др. Параметры распределения, как правило, неизвестны, их заменяют наилучшими оценками по выборке.

Очевидно, что между эмпирическим и теоретическим распределением неизбежны расхождения. Естественно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными причинами или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа на этот вопрос и служат критерии согласия.

Критерием согласия называется статистический критерий, который служит для проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

В основе критерия согласия c² («хи-квадрат») Пирсона лежит сравнение эмпирических (наблюдаемых) и теоретических частот, вычисленных в предположении того, что признак распределен по определенному закону.

 

Схема применения критерия c² Пирсона

Первый этап проверки гипотезы. Выдвинуть гипотезу : признак Х в генеральной совокупности распределен нормально с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Выдвинуть альтернативную гипотезу : признак Х в генеральной совокупности не распределен нормально.

Второй этап проверки гипотезы. По имеющейся выборке объема n найти наблюдаемое значение специально составленной характеристики – сумму квадратов разностей между эмпирическими и теоретическими частотами, деленную на соответствующие теоретические частоты. Для этого:

1) Найти теоретические частоты по формуле: , где n – объем выборки, h – ширина интервала интервального вариационного ряда, – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, , – варианты, – выборочная средняя, – функция, значения которой берутся из таблицы приложения 1.

Отметим, что для выборки большого объема вместо исправленного выборочного среднего квадратического отклонения можно взять просто выборочное среднее квадратическое отклонение .

2) Найти наблюдаемое значение критерия .

Третий этап проверки гипотезы. По таблице приложения 2 для числа степеней свободы (где k – количество интервалов в интервальном вариационном ряду) и уровня значимости найдем критическое значение критерия . Также можно найти с помощью статистической функции Excel ХИ2ОБР для уровня значимости и числа степеней свободы .

Четвертый этап проверки гипотезы.

1. Сделать вывод. Если , то гипотеза отвергается.

Если , то гипотеза принимается.