Расчет временных характеристик проекта

 

Основными задачами сетевого анализа являются календарное планирование и оперативный контроль сроков начала и завершения выполнения отдельных работ и этапов проекта с использованием его сетевой модели. Для этого предварительно выполняется расчет двух групп временных характеристик проекта — параметров свершения событий и параметров выполнения работ. К п е р в о и группе относятся: 1) ранние сроки свершения событий; 2) поздние сроки свершения событий; 3) резервы событий; 4) продолжительность критического пути. Ко второй группе относятся: ранние сроки начала и окончания работ; 2) поздние сроки начала и окончания работ; 3) резервы работ (полный резерв, свободный резерв, частный резерв первого рода, частный резерв второго рода.

Существуют два подхода к расчету временных характеристик, при которых продолжительности работ считаются: а) строго детерминированными величинами; б) случайными величинами. Рассмотрение методов СПУ начнем с первого подхода, как более простого в понимании и применении. Он был разработан и впервые использован в начале 1950-х гг., что определило качественный скачок в развитии теории и практики менеджмента проектов. Во всем мире этот подход известен как метод критического пути (criticalpath method, CPM).

Ранний срок свершения события — это наиболее раннее время свершения данного события относительно начала выполнения комплекса работ. Ранний срок свершения события (t_pj) численно равен продолжительности максимального из путей от начального события сетевой модели до данного события. Отметим, что в реальной крупной сети число путей от ее начала до любого события, расположенного ближе к концу, может быть и очень велико. Поэтому прямо использовать приведенное выше определение для расчета ранних сроков событий не представляется возможным. Для этого используется специальный алгоритм, называемый алгоритмом Форда, существенно сокращающий объем проводимых вычислений: 1) для начального события сети всегда t_p1 = 0; 2) для каждого последующего события по порядку выбирается максимум по всем его предкам t_pj = max{t_pi + t_ij}. Результаты расчетов сводятся в таблицу, форма которой представлена ниже (табл. 4.2). Число записей (t_pi + t_ij) в столбце таблицы равно числу предков у данного события; максимальное значение как-либо выделяется и используется для расчетов ранних сроков последующих событий.

По определению ранний срок завершающего события сети равен длительности максимального полного пути данной сети, т. е. максимального пути, связывающего начальное и конечное события. Такой путь называется критическим. Именно этот путь (последовательность работ) определяет срок завершения проекта. Именно на работы критического пути руководители проекта в целом, направлений, тем и т. д. должны обращать основное внимание во избежание срыва сроков выполнения проекта, либо желая ускорить его завершение. Таким образом, алгоритм Форда позволяет найти продолжительность критического пути Т_кр, однако он не дает ответа на вопрос, какая последовательность работ является критической. Работа принадлежит критическому пути, если выполняется условие: t_pj - t_pi = t_ij, причем проверка начинается с завершающего события и идет к началу сети. Если проверять это условие наоборот от начального события, то ему будет удовлетворять множество работ, составляющих подграф-дерево максимальных путей от начального события до всех событий сети. И только одна ветвь этого дерева будет полной, т. е. явится критическим путем. Проверка условия от завершающего события к началу отсекает все лишние ветви и существенно сокращает объем вычислений. В сети возможно существование нескольких критических путей, имеющих максимальную и равную длительность.

Поздним сроком свершения события (t_пi) называется предельное по отношению к началу выполнения комплекса работ время свершения данного события, не влияющее на срок завершения проекта. Поздний срок свершения события численно равен разности между длиной критического пути Т и продолжительностью максимального из путей от данного события до завершающего m_i:

Значения m_i могут быть найдены с помощью алгоритма Форда, исполненного в обратную сторону, т. е. от завершающего события к начальному против направления стрелок. Тогда m_i = max{m_i + t_ij} (максимум отыскивается по всем потомкам j события i) и

но так как t_пi = T_кр - m_j, можно записать t_пi = min{t_пj - t_ij}. Расчеты поздних сроков выполняются в той же таблице, что и ранних, по аналогичным правилам (табл. 4.2). На основании проверки выполнения условия t_пj - t_пi = t_ijможет быть построено дерево максимальных путей от каждого события сети до завершающего (при проверке от конца к началу) или сразу же выделен критический путь (при проверке от начального события к конечному).

Резерв события показывает продолжительность интервала времени, в течение которого может свершиться данное событие. Резерв событий R. определяется по формуле:

Ранние и поздние сроки начала и окончания работ. До сих пор речь шла только о сроках свершения событий. Однако исполнители проекта ориентируются на выполнение работ. Поэтому для их удобства вводится (рассчитывается) еще одна группа временных характеристик проекта, привязанных к работам, а именно:

раннее начало работы,

 

раннее окончание работы,

 

позднее окончание работы

 

позднее начало работы,

Резервы работ. Большое значение для менеджера проекта имеет знание резервов, которыми располагают отдельные работы. Сущетвуют четыре вида резервов работ - полный, свободный и два частных; причем анализ каждого из них имеет для менеджера свой смысл:

полный резерв работы,

 

свободный резерв работы,

 

частный резерв 1-го рода,

 

частный резерв 2-го рода,

Полный резерв — это максимальный резерв работы. Он образуется, если событие-предок свершается в ранний срок, а событие-потомок - в поздний. Если работа использует полный резерв, то в сети появляется новый критический путь, проходящий через нее, и, следовательно, все работы, лежащие на этом пути, полностью лишаются резервов. Частично при этом лишаются резервов и работы, связанные с этим путем, т. е. такие работы, у которых только предок или потомок лежат на этом пути.

Свободный (независимый) резерв — это минимальный резерв работы. Поскольку интервал между t_pi и t_пi не может быть уменьшен, работа только сама располагает свободным резервом. Никакие другие работы воспользоваться им не могут. Свободный резерв возникает у работ достаточно редко и только в тех случаях, когда между событиями — предком и потомком данной работы существует другой «обходной» путь большей длительности, чем продолжительность самой работы. Свободный резерв — это единственный резерв, который по расчету может оказаться отрицательным. Но поскольку это не имеет смысла, резерв в таком случае принимается равным нулю. Частный резерв 1-го рода равен нулю на ветвях подграфа-дерева максимальных путей от каждого события сети до завершающего. Действительно, для работ, принадлежащих этому дереву, выполняется условие t_пj - t_пi = t_ij, или, что то же самое, t_пj - t_пi - t_ij = 0. Следовательно, частный резерв 1-го рода образуется у работ, не входящих в это дерево. Если работа использует данный резерв, то она частично или полностью лишит резервов другие работы, следующие за ней.

Частный резерв 2-го рода образуется у работ, не лежащих на дереве максимальных путей от начального до каждого события сети. Если работа использует данный резерв, то это повлияет на резервы предшествующих работ, но не повлияет на резервы последующих. Результаты расчетов всех параметров работ сводятся в таблицу (табл. 4.3).

 

Пример 4.1

Пусть задана сетевая модель проекта (рис. 4.13). Длительность работ указана на модели около каждой из них. Требуется рассчитать все временные характеристики проекта, указать, как проходит критический путь.

Результаты расчетов ранних и поздних сроков свершения событий методом Форда сведены в табл. 4.2. Причем расчет поздних сроков выполнен двумя методами — через промежуточные величины m и без них. Оба расчета имеют одинаковую силу, поэтому пользоваться можно любым из них. Напомним, что ранние сроки представлены в таблице слева направо, а значения ц и поздние сроки — справа налево. В таблицу также включен расчет резервов событий.

 

Рис. 4.13. Сетевая модель проекта

Таблица 4.2

 

 

 

 

 

Параметры	События
1	2	3	4		6	7	В
Ранние сроки свершения событий
Промежуточные величины ц.
Поздние сроки свершения событий
Резервы событий

 

События на критическом пути всегда имеют нулевой резерв. Однако пользоваться этим свойством для отыскания последовательности критических работ надо осторожно. Например, для нашей сети, используя его, нельзя ответить на вопрос, единственен ли критический путь, проходящий по работам 1—2, 2—3 и далее, или есть второй — через работу 1—3.

Отыщем критический путь, следуя приведенному ранее алгоритму. Начнем с завершающего события:

Это означает, что работа 6 - 8является критической и продолжать про-верку следует для события 6:

Работа 3 - 6 также критическая, и проверку продолжим для события 3:

Фиктивная работа 2—3 также принадлежит критическому пути, и проверку завершим работой 1—2:

Таким образом, критический путь включает работы 1—2, 2—3, 3—6 и 6-8.Результаты расчетов раннего и позднего начала и окончания работ, а также всех четырех резервов работ приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

 

Работа, ij	tij	Начало и окончание работ	Резервы работ
thн	tpo	tpн	tпо	RПij	RНij	Rч1ij	Rч2ij
1 -2
1 - 3
2 - 3
3 - 4
3 - 5
3 - 6
4 - 7							0(-7)
5 - 6
5 - 7							0(-2)
5 - 8
6 - 8									^0
7 - 8

 

Анализ вероятности

Завершения проекта в срок

 

На практике при формировании первичных сетевых моделей бывает сложно дать точную оценку длительности выполнения отдельных работ. Особенно если это работы творческие по содержанию (например, исследовательские, конструкторские и др.). Тогда используется второй подход к расчету временных характеристик проекта: продолжительности работ считаются случайными величинами и задаются с помощью системы оценок.

В 1958 г. был разработан и впервые применен новый метод сетевого анализа — метод PERT (program evaluation and review technique), или метод оценки и пересмотра программ. Метод РДОГиспользует статистические данные для количественной оценки неопределенности, которая может встретиться при выполнении физических, а особенно — умственных работ. Он весьма эффективен там, где до сих пор не было основы для установления норм времени, необходимого для выполнения каждой из таких работ.

Напомним, что для задания случайной величины, как правило, достаточно указать: 1) закон ее распределения; 2) математическое ожидание; 3) дисперсию. Однозначного решения относительно закона распределения продолжительностей работ нет. Ученые склоняются к двум вариантам, которым соответствуют два подхода:

1. Если длительность работ считать подчиняющейся нормальному закону распределения, то следует использовать двухоценочную систему, в которой для каждой работы задаются оптимистическая оценка длительности (а) и ее пессимистическая оценка (b_ij). Причем a_ij £ t_ij £ b_ij.

При этом рассчитывается математическое ожидание длительности работы (t̅_ij):

а также дисперсия длительности (s²_ij):

2. Если длительность работ считать подчиняющейся закону b-распределения, то следует использовать трехоценочную систему, в которой дополнительно задается т — медиана, а расчеты выполняются несколько иначе:

Далее могут быть рассчитаны все временные характеристики проекта с помощью уже известных алгоритмов (см. подраздел 4.3.3).

Поскольку в алгоритмах используются только действия сложения вычитания и применяются они к математическим ожиданиям длительности работ, то и результат любого расчета также будет представлять собой математическое ожидание случайной величины. Ее дисперсия будет равна сумме дисперсий работ, которые участвовали в расчете. Определенные таким образом параметры проекта в силу центральной предельной теоремы теории вероятности распределены по нормальному закону. Все сказанное справедливо лишь для достаточно больших проектов, где при расчетах параметров суммируются более десятка случайных величин—длительностей работ. Стохастическая постановка управления проектами позволяет решить две специфические задачи: 1) определить, с какой вероятностью проект будет завершен к плановому сроку; 2) рассчитать, к какому сроку проект может быть завершен с заданной вероятностью. Для решения обеих задач используется x-нормированное отклонение случайной величины, распределенной нормально, или квантиль. Если задан плановый срок T_пл, то выполняется расчет:

где Т — математическое ожидание длины критического пути;

s²_кр — дисперсия критического пути, рассчитанная как сумма дисперсий

работ, лежащих на критическом пути,

Затем по таблице накопленной (интегральной) вероятности для нормального закона распределения отыскивается значение искомой вероятности. Если задана требуемая вероятность завершения проекта р₀, то по той же таблице для нее определяется значение квантиля и выполняется расчетожидаемого срока по формуле:

 

Пример 4.2

Пусть задана вероятностная сетевая модель проекта, топология которой показана на рис. 4.14, а оценки длительности работ сведены в табл. 4.4. Требуется определить, с какой вероятностью проект будет завершен к следующим срокам: а) Т_пл = 160 дн.; б) Т_пл= 159 дн.; в) Т_пл = 155 да.; а также к какому сроку завершится проект со следующими вероятностями: а) р₀ = 0,8; 6) р₀ = 0,5; в) р₀ = 0,1.

В табл. 4.5 показаны также результаты расчета математических ожиданий и дисперсий длительности всех работ сети. Выделены дисперсии работ критического пути, в сумме составляющие s²_кр = 8,44. Расчет ранних сроков событий, в том числе продолжительности критического пути, нахождение последовательности работ критического пути выполнены с помощью метода Форда (табл. 4.5).

 

 

Рис. 4.14. Исходная сетевая модель проекта для стохастического расчета

Таблица 4.4

 

 

 

Код работы	Оценки длительности работы	tij	s^2ij	Код работы	Оценки длительности работы	tij	s^2ij
aij	mij	bij	aij	mij	bij
1-2				22,00	1,00	8-14				18,17	0,25
1-3				8,00	0,11	9-11
1-6				2,00	0,11	9-12
2-3						9-13				12,83	0,25
3-4				17,00	0,44	10-12
3-5				12,17	0,25	11-15				7,00	0,11
4-5						12-13				26,30	1.00
5-7				20,17	2,25	13-15				20,17	0,69
5-8				2,00	0,11	14-15	5			8,83	1,36
6-9				3,00	0,11	14-16				11,17	0,25
6-10				3,00	0,11	15-17				17,67	1,00
6-12				3,00	0,11	16-17				5,67	1,78
7-9				25,83	1,36	17-18				10,17	0,69
7-11				5,00	0,11

 

Рассчитаем значения квантиля для трех вариантов прямой задачи и найдем по ним вероятности, используя таблицу значений функции накопленнойвероятности:

Таблица 4.5

 

 

 

	События
Ранние сроки	1			4		6	7 59,17	8
				34,17
						59,17

 

Окончание табл. 4.5

 

 

 

			События
10	11	12	13	14	15	16	, 17	18
Ранние сроки		64,17		97,83 111,33	59,17	131,5	70,33	149,17	159,33
			1 1 1,33	59,17	131,5	70,33	149,17	159,33

 

Теперь используя ту же таблицу, отыщем квантили по заданным значениям вероятности и на их основе рассчитаем ожидаемые сроки завершения проекта:

Логично было бы предполагать, что вероятность завершения проекта к сроку, превышающему математическое ожидание Т_кр, окажется более 50%, к сроку меньшему чем тематическое ожидание Т_кр, - менее 50%, а ^с вероятностью 50% проект завершится именно к этому сроку. Расчеты полностью подтверждают логику наших рассуждений.