Наибольшее и наименьшее значение на отрезке.

Задача 5. Дана функция . Найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Решение. Сначала найдём производную и точки экстремума.

.

.

Точка . Чтобы узнать, максимум это или минимум,

найдём 2-ю производную.

= = .

поэтому в этой точке максимум.

Других экстремумов на данном отрезке нет. Производная и сама функция не существуют при , однако эта точка в рассматриваемый отрезок не входит. Теперь остаётся сравнить значения в точке экстремума и на концах отрезка.

= .

=

= .

Наибольшее значение , наименьшее .

График:

 

Ответ. Наибольшее , наименьшее .

Задача 6. Дана функция . Найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Решение. = =

вынесли множитель, который меняет знак, отдельно. Первый множитель здесь всегда больше нуля.

, то есть .

При производная положительна, там рост функции.

Вне этого интервала , убывание функции.

В точке убывание сменяется ростом, это минимум.

В точке рост сменяется убыванием, это максимум.

График:

Осталось сравнить значения в точках экстремума и на концах отрезка.

, ,

, .

Ответ. Наименьшее: , наибольшее: .

 

Задача 7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0,5].

Решение. Сначала найдём экстремумы во внутренних точках. , только при . При этом , то есть там минимум. Осталось найти все значения функции в точках экстремума и в двух граничных точках и сравнить их:

.

Ответ. Наибольшее , наименьшее .

Задача 8. Найти экстремум функции 2 переменных: .

Решение. Найдём точку, в которой обе частные производные , обращаются в 0.

Получим . Составим матрицу из вторых производных.

= она соответствует положительно-определённой квадратичной форме . Проще говоря, в каждом из двух перпендикулярных сечений поверхности такая кривая, что 2-я производная больше нуля, то есть по каждому сечению минимум.

Тогда точка (1,3) минимум для поверхности.

Замечание. Можно было выделить полный квадрат по каждой переменной и сразу получить тогда было бы видно, что в любой точке значение больше нуля, а в то же время .

Ответ. Точка (1,3) минимум.

 

Условные экстремумы.

Задача 9. Дана функция . Найти условные экстремумы этой функции на окружности .

Решение. Условие имеет вид . Наклонная плоскость наклонена в сторону биссектрисы первой четверти. Окружность под плоскостью проецируется наверх, и там получается эллипс, и видно, что у него есть точки максимальной и минимальной высоты.

 

Теперь найдём их подробно, аналитическим путём. Надо функцию двух переменных свести к функции одной переменной с помощью условия, и затем искать экстремум для неё уже обычным образом. Для точки на окружности, можно задать x,y так: .

Тогда вместо можно получить в итоге = .

= .

. при , то есть и .

. Тогда , там условный максимум. , там условный минимум.

Переведём обратно в декартовы координаты .

соответствует .

итак, при получим .

При получим .

Кстати, на чертеже они тоже хорошо видны, в 1-й четверти условный максимум, в 3-й четверти условный минимум. Высота в точках условного максимума и минимума легко вычисляется, если подставить в функцию.

= .

= .

Замечание. Не всегда обязательно выражать переменные через t, просто здесь для окружности так было удобнее. Если в другой задаче кривая - парабола, то можно например все заменить на , и тоже сведётся к одной переменной, а именно .

Ответ. Точка условный максимум, условный минимум.

 

Практика 24.

Задача 1. Найти условный экстремум функции при условии, что .

Решение. Поверхность это наклонная плоскость. Ни одна точка на ней не является точкой экстремума, ведь в её окрестности есть другие точки как выше, так и ниже. Однако если сузить область определения, то есть рассматривать не всю плоскость, а только параболу, над параболой есть точка минимальной высоты.

Подставим условие в функцию .

, свели к функции одной переменной, и для неё уже ищем обычный экстремум.

.

, т.е. минимум.

Значение функции в этой точке: .

Ответ. Точка условный минимум.

 

Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .

Решение. Сначала найдём экстремумы во внутренних точках, а затем условные экстремумы на границах квадрата, после этого сравним все значения в получившихся точках, а также в 4 углах квадрата.

никогда не обращается в (0,0) из-за первой координаты. Экстремумов во внутренних точках нет. Теперь ищем условные экстремумы на границах квадрата.

. , , экстремум при , то есть в точке , это условный максимум, т.к. .

. , , экстремум при , то есть в точке , это условный максимум, т.к. .

. , , экстремумов нет.

. , , экстремумов нет.

Итак, осталось проверить значение функции в точках условного экстремума на границах , и в 4 угловых точках квадрата:

.

Наименьшее значение , наибольшее 1.

Чертёж этой поверхности:

 

Ответ. Наименьшее наибольшее .

Задача 3. Найти отношение высоты к радиусу основания цилиндра, такое, что при фиксированном объёме получалась наименьшая площадь поверхности.

Решение. Это задача на условный экстремум. Формула объёма цилиндра . Полная площадь поверхности это сумма площади боковой поверхности и площадей 2 кругов, то есть верхней и нижней грани цилиндра. Она вычисляется по формуле:

= .

Требуется, чтобы эта площадь была наименьшей. Пусть объём фиксирован и составляет 1 единицу, . Тогда . Таким образом, мы можем в функции одну из двух переменных выразить через другую, то есть получится функция одной переменной.

= = .

Теперь найдём экстремум этой функции по .

= . Найдём, когда производная равна 0.

.

При этом = = .

Соотношение = : = = = = 2.

Ответ. .

Замечание. Для наименьшей площади поверхности диаметр цилиндра должен быть равен высоте, сбоку такой цилиндр виден именно как квадрат! Если цилиндрическая консервная банка слишком плоская, или наоборот, слишком высокая, это перерасход металла. Так что задача имеет прямое отноешние к экономике.