Выпуклость графика и асимптоты.

Задача 4. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз и асимптоты графика функции .

Решение. Сначала, очевидно, надо найти первую производную.

= = .

Первая производная положительна, она может обратиться в 0 лишь при . Так как она нигде не отрицательна (ведь все степени чётные) то интервал роста не сменяется интервалом убывания, а снова продолжается рост. Таким образом, мы установили, что экстремумов нет, функция монотонно возрастает.

Теперь найдём 2-ю производную.

=

Сократим по крайней мере на одну степень выражения .

= =

= = выделили множитель, который заведомо больше 0, а также там видим 2 множителя, которые могут менять знак. Когда они одного знака, оба плюс или минус, тогда вторая производная больше 0, а когда разного знака, тогда меньше 0.

1) на , на .

2) .

Теперь сопоставим эти интервалы, вот на схеме жёлтым показано, на каком интервале то или иное выражение положительно, а зелёным - отрицательно:

 

Итак, , если и .

На этих интервалах график выпуклый вниз.

, если и .

На этих интервалах график выпуклый вверх.

Точки перегиба .

Поиск асимптот. = = 1.

= = =

. Асимптота . Вот чертёж:

Видно, что сначала график отходит от асимптоты, в это время выпуклый вниз. Потом после начинает возвращаться, в это время выпуклость вверх. Пересекает её, начинается торможение, в это время выпуклость вниз. А потом до бесконечности приближается к асимптоте, в это время выпуклость вверх.

Примечание. Сравнение с реальной ситуацией - машина, которая съехала с дороги, потом возвращается но проскочила мимо, потом снова начинает приближаться, но уже с другой стороны и плавно.

Задача 5. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Во-первых, при знаменталь обращается в 0, здесь разрыв 2 рода. То есть, вертикальная прямая это вертикальная асимптота. Теперь ищем наклонные асимптоты.

= = 2. Причём этот результат не зависит от того, предел при или , ведь обе старшие степени чётные. Нашли , т.е. есть наклонная асимптота типа . теперь найдём .

= = =

= = . Итак, и опять же, это независимо от или . Значит, прямая это двусторонняя асимптота.

Ответ. Вертикальная и наклонная . График:

 

Задача 6. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Область определения: . Здесь нет знаменателя, который мог бы обращаться в 0, поэтому вертикальных асимптот нет. Функция не ограниченная при , поэтому и горизонтальных асимптот нет, так что ищем только наклонные. Функция чётная, поэтому можем искать только при на правой полуплоскости, а на левой график симметричен, так что если будет асимптотой на правой полуплоскости, то

на левой. А вот двусторонняя асимптота здесь никак не могла бы быть, ведь график симметричен относительно вертикальной оси, т.к. функция чётная.

= = = 1.

= =

здесь умножили на сопряжённое, как в таких пределах делали раньше.

= = .

Итак, , , на правой полуплоскости асимптота . Тогда из-за симметрии графика чётной функции на левой полуплоскости наклонная асимптота .

Ответ. Две односторонние асимптоты и .

График (асимптоты показаны зелёным цветом).

Задача 7. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Функция не является чётной, поэтому здесь придётся при и искать пределы каждый отдельно.

= = = .

= = =

= = = 0.

Итак, , , на правой полуплоскости асимптота .

На левой полуплоскости:

= =

= .

= =

= = но так как отрицательно то

. Итак, на левой полуплоскости , . Здесь не наклонная, а горизонтальная асимптота, .

Ответ. На правой полуплоскости наклонная асимптота ,

на левой горизонтальная асимптота .

Вот график этой функции:

 

Задача 8. (Производная функции, заданной неявно). . Найти производную в точке (1,1).

Решение. Во-первых, проверим, что эта точка принадлежит кривой.

, да, принадлежит. Ищем производную:

= = = = .

Ответ. .

 

 

Практика 25.

 

Задача 1. Дано: . Точка движется по прямой:

. Вычислить с помощью формулы полной производной и без её использования.

Решение.

1 способ. Сведём к функции от и вычислим для неё обычную производную.

= = =

, = = .

2 способ. По формуле полной производной: = =

= а теперь уже в этом выражении выразим через : = =

= .

Ответ. .

 

Задача 2. Вывести формулу .

Решение. Объединим первые 2 слагаемых в один условный множитель, а третье пусть будет вторым множителем. После этого применим известную формулу, доказанную для 2 множителей.

= , что и приводит к

выражению .

 

Задача 3. Найти производную для .

Решение. По формуле из прошлой задачи, для 3 множителей:

= =

.

Ответ. .