Главная часть бесконечно-малой.

Задача 1. Найти главную часть для в точке т.е. вида .

Решение. Во-первых, видно, что это действительно бесконечно-малая в точке 1, ведь . Запишем в знаменателе и приравняем предел к единице, ведь эти величины должны быть эквивалентны. Затем ведём преобразования и упрощаем выражение под знаком предела, как при обычном вычислении предела. Когда оно упростится настолько, что все можно будет собрать в отдельный множитель, а все остальные, не стремящиеся к нулю, отдельно, тогда легко определится k и С. Так как мы ищем эквивалентную, то предел изначально приравняем к 1.

.

Множители (x-1) полностью сократятся лишь в случае, когда k=1, иначе предел получился бы 0 или . Теперь, если уже известно, что k=1, и все множители типа (x-1) сократились, вычислим С.

, , С = 3. Тогда .

Ответ. . График и :

На графике зелёным изображена главная часть , а коричневым . Фактически мы нашли среди степенных функций вида наилучшую, соответствующую . Кстати, заметим, если порядок малости в данной точке равен 1, то есть k=1, то график пересекает ось Ох под каким-то углом, причём главная часть это и есть уравнение касательной. Если же касательная горизонтальна, то бесконечно малая имеет не 1 порядок, а более высокий.

Задача 2. Выделить главную часть бесконечно-малой в точке .

Решение. Запишем .

Заменяем на синус на эквивалентную бесконечно-малую, для этого делим и домножаем, чтобы избавиться от синуса в этом выражении, т.е. чтобы остались только степенные функции.

предел первого множителя = 1, остаётся

.

В отдельную дробь вынесли множители, содержащие . Тогда видно, что , иначе множитель остался бы или в числителе, или знаменателе, и предел 0 или , а должен быть равен 1.

При остаётся .

Ответ. . Фактически, это получилось уравнение касательной .

В дополнение, чертёж к этой задаче. показано красным цветом, а главная часть зелёным.

Задача 3. Выделить главную часть бесконечно-малой: в точке .

Решение. Так как точка 0, то вместо множителя здесь просто . Поделим и приравняем предел к 1, .

Преобразуем так, как обычно при вычислении предела, когда внутри не было неизвестных параметров. Заменим на эквивалентную бесонечно-малую.

= .

Теперь домножим и поделим на сопряжённое выражение.

очевидно, что этот lim может быть равен константе лишь при , ведь если сократится не полностью, то будет 0 или . При остаётся , .

Ответ. .

Чертёж к этой задаче. Красным показана исходная функция, зелёным главная часть.

Таким образом, найдена «наиболее похожая» на в окрестности нуля функция (в классе степенных функций). Видно, что в окрестности 0 их графики очень близки, вот в чём состоит геометрический смысл главной части бесконечно-малой функции.