Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Серия задач, где разложение получается с помощью геометрической прогрессии.
Задача 10. Разложить в степенной ряд в окрестности . Решение. Представим , и тогда знаменатель прогрессии будет . Эта функция представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, записанную в свёрнутом виде, т.е. мы по формуле должны развернуть её обратно в сумму. . Ответ. . Задача 11. Разложить в степенной ряд в окрестности . Решение. Здесь константа не равна 1, тогда можно вынести константу за скобки, и тогда получится . Мы можем пользоваться этой формулой при условии, что , то есть . Итак, = Ответ. = Задача 12. Разложить в степенной ряд в окрестности . Решение. Здесь разложение в окрестности другой точки, а не 0, в этом случае надо изначально сделать арифметическое преобразование, чтобы отделить слагаемое вида . Затем вынесем за скобку констенту 4, чтобы в знаменателе выражение начиналось с 1, т.е. чтобы присутствовала структура типа . Итак, = . А уже после этого, в качестве знаменателя прогрессии получается и тогда, при условии, что , получим . Это верно в такой области: , т.е. . Ответ. . Приложения формулы Тейлора. Нахождение производных высокого порядка. Допустим, нужно вычислить производную 10 порядка в точке 0 для функции, содержащей произведение, например . Если просто считать производные до 10 порядка, и лишь затем фиксировать число, то на каждом шаге по формуле происходит удвоение количества слагаемых. Таким образом, их будет до 1024. Некоторые из них обнуляются в процессе, так как понижается степень, так что в реальности меньше, но всё равно, это очень трудоёмкая работа, вычислить 10 производную для такого типа функции. Вместо этого, мы можем выбрать коэффициент при 10 степени из разложения в ряд Тейлора.
Задача 13. Найти для функции . Решение. = = Итак, коэффициент при 10-й степени равен . Теоретически же этот коэффициент должен быть . Приравняем эти значения. = , тогда = = . Ответ. .
Практика 23 (16 декабря у обеих групп). Экстремумы. Задача 1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции . Решение. Найдём производную. . Ищем корни этого многочлена. , , корни 2 и 3. Для определения интервалов монотонности надо найти знак производной на интервалах , и . Знак производной может меняться только в точках 2 и 3, на интервалах он остаётся неизменным. Надо выбрать какую-нибудь наиболее удобную для вычислений точку на интервале, желательно с целой абсциссой.
1) , , на этом интервале монотонный рост. 2) здесь очевидно, целое выбрать не получится. = = = , на этом интервале монотонное убывание. 3) , = = , здесь монотонный рост. В точке 2 рост сменяется убыванием, это максимум. В точке 3 убывание сменяется остом, это минимум. Кстати, тип экстремума можно найти и с помощью 2 производной: Выясним знак 2-й производной в этих точках. . максимум. . минимум. . Ответ. возрастание, убывание, возрастание. максимум, минимум.
Задача 2. Найти экстремумы функции и разность между ординатами максимума и минимума. Решение. Производная: . Стационарные точки (где производная = 0) и . Чтобы определить, где максимум, а где минимум, выясним знак 2-й производной в этих же точках. . , точка максимум. точка минимум. , . Ответ. максимум, минимум. Разность ординат 108.
Задача 3. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции . Решение. = = = . От знаменателя знак не зависит, знаменатель тут всегда строго больше 0. Поэтому всё зависит только от знака числителя. Выделим множитель, который может менять свой знак: . Корни . На интервалах и : , рост. На интервале : убывание. В точке рост сменяется убыванием, это максимум. В точке убывание сменяется ростом, это минимум. Кстати, в этом примере с помощью интервалов узнать экстремумы проще, чем с помощью 2-й производной, ведь пришлось бы считать поизводную от дроби . Для построения графика можем найти высоту в точках максимума и минимума: , . Вот как выглядит график: Ответ. и рост, убывание. максимум, минимум. Задача 4. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции . Решение. Сначала найдём корни выражения под знаком модуля, чтобы понять, какая часть параболы отражается вверх. , , , корни и 3. Тогда знак меняется на интервале , то есть функцию можно записать в виде: . График: Производная: . Производная разрывна при и обращается в 0 при . Выбирая целочисленную точку на каждом интервале, найдём знак производной на этом интервале. убывание на .
рост на . убывание на . рост на . Таким образом, точки минимума, максимум. Ответ. и убывание, и рост, минимумы, максимум.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-20; просмотров: 107; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.226.251.68 (0.029 с.) |