Потенциальное неустановившееся движение.

Интеграл Лагранжа

 

Так как при потенциальном движении угловая скорость вращательного движения равна нулю, то , и из выражений (2.9) для составляющих угловой скорости имеем следующее:

 

, , . (3.23)

 

Считая жидкость идеальной, обратимся к системе уравнений Эйлера в развернутом виде (3.7). Рассмотрим уравнение в проекции на ось ОХ:

 

 

. (3.24)

 

 

Принимая во внимание условия (3.23), конвективную производную в уравнении (3.24) приведем к виду

 

.

 

Аналогичные преобразования проведем для конвективных производных уравнений в проекциях на оси ОУ и ОZ. Подставим полученные выражения в уравнения Эйлера:

 

, ,

. (3.25)

 

Преобразуем локальные производные в уравнениях (3.25), учитывая, что при потенциальном движении проекции скорости можно представить через потенциал скорости

 

 

и свойство независимости смешанной производной от порядка дифференцирования:

 

, ,

.

 

Введем в рассмотрение такое понятие, как баротропность. Баротропным называется движение, при котором плотность есть функция только давления p. Будем считать, что баротропность имеет место во всем пространстве, занятом жидкостью. Тогда зависимость плотности от давления можно описать функцией давления . Следовательно, и отсюда .

В системе уравнений (3.25) произведем замены с помощью функции давления. Умножив каждое из уравнений на соответствующее приращение (dx, dy, dz)

после их сложения получим следующее:

 

(3.26)

 

Выражение в скобках в правой части уравнения является функцией и t, но, считая, что параметры течения на данномэтапе не зависят от t, правую часть уравнения (3.26) можно считать полным дифференциалом некоторой функции

 

.

 

Таким образом, уравнение (3.26) запишется в следующем виде: . Так как правая часть этого уравнения есть полный дифференциал, то и левая часть также является полным дифференциалом некоторой функции Ф:

 

.

После интегрирования получим , где C (t) – произвольная функция интегрирования, зависящая от t. Таким образом, мы восстанавливаем зависимость параметров течения от времени.С учетом выражения для функции давления получаем

 

 

т. е. интеграл Лагранжа для потенциального неустановившегося движения сжимаемой среды.

Для несжимаемой среды и интеграл Лагранжа для несжимаемой жидкости запишется следующим образом:

 

.

При установившемся движении сжимаемой жидкости вместо произвольной функции имеем постоянную интегрирования, и интеграл Лагранжа примет вид интеграла Эйлера–Бернулли:

 

,

 

где для всей массы движущегося газа.

Произвольное установившееся движение сжимаемой