Загальна методика розрахунку перехідних процесів операторним методом

 

7.1.1 Основні положення та співвідношення

 

В основу операторного методу покладене наступне:

функція , що є струмом і(t), або напругою u (t), яканазивається оригіналом, замінюється відповідною їй функцією F(p) комплексної змінної р, яка називається зображенням.

Ці функції зв'язані співвідношенням, що є прямим перетворенням Лапласа:

(7.1)

або

. (7.2)

При такому перетворенні операція диференціювання над функцією дійсної змінної f (t) замінюється операцією множення на оператор р функції комплексної змінної F(p). B свою чергу, операція інтегрування замінюється операцією ділення на оператор р.

У таблиці 7.1 приводяться оригінали найпростіших функцій та їхнього зображення, отримані за формулою (7.1).

Таблиця 7.1

Оригінал	Зображення	Оригінал	Зображення
1. 1		8.
2. t		9.
3.		10.
4.		11.
5.		12.
6.		13.
7.		14.

 

Схеми заміщення реактивних елементів, складені за формулою (7.1), кола з нульовими початковими умовами наведені на рис. 7.1.

 

Індуктивний елемент Ємнісний елемент

 

JL Cp

Рис. 7.1

 

7.1.2 Основні етапи рішення

При розв’язанні завдань операторним методом рішення розбивається на три етапи:

1) Складається операторна схема заміщення для кола, отриманого після комутації.

2) Визначаються операторні зображення струмів і напруг.

3) Знаходять оригінали за отриманими зображеннями.

 

Операторні схеми заміщення

Розглянемо складання операторної схеми заміщення на прикладі електричного ланцюга на рис. 7.2.

Рис. 7.2

На вході цього кола діє постійна напруга величиною U. Визначаються величини струму в котушці індуктивності i_L і напругу на конденсаторі U_С до комутації. Для їх визначення складається система рівнянь за законами Кірхгофа, яка описує режим роботи кола до замикання ключа.

(7.3)

 

Розглянемо систему рівнянь (7.3) з точки зору сталого режиму, коли до початку перехідного процесу в колі спостерігаєтся встановлений режим. При дії постійної напруги похідні від струмів та напруг кола будуть дорівнювати 0. З врахуванням останнього зауваження система рівнянь (7.3) приймає вигляд:

(7.4)

В системі рівнянь (7.4) струм конденсатора прийнятий рівним нулю, оскільки .

Визначимо з системи рівнянь (7.4) значення струмів індуктивності і напруги на конденсаторі:

(7.5)

Використовуючи таблицю 7.1 та схеми заміщення, які наведені на рис.7.1, складемо операторну схему заміщення електричного кола, приведеного на рис. 7.2 з врахуванням виразу (7.5). Схема складається для кола, що отримане після комутації (рис. 7.3).

Рис. 7.3

Позначимо значення всіх елементів кола. В отриманому електричному колі діють три джерела енергії: незалежне джерело енергії, ввімкнене на вході кола, величиною і два джерела, які враховують енергію, запасену в реактивних елементах кола, до комутації з величинами та .