Математичні основи аналізу перехідних процесів

Електричне коло, у якому відбувається перехідний процес, описується рівняннями, складеними за законами Кірхгофа, або за методом контурних струмів. Опис здійснюється для кола, отриманого після комутації. При складанні рівнянь за першим законом Кірхгофа поряд зі струмами резисторів і котушки індуктивності необхідно враховувати струм конденсатора. Цей струм визначається виразом:

При складанні рівнянь за другим законом Кірхгофа поряд з падіннями напруг на резисторах і конденсаторі необхідно враховувати й спадання напруги на котушці індуктивності в вигляді:

Після складання системи рівнянь, що описує електричне коло, виконується її розв’язування щодо обраної змінної. У якості шуканої змінної рекомендується вибирати струм котушки індуктивності або напругу Uc конденсатора.

У результаті розв’язку вийде диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами вигляду

(5.1)

або

(5.2)

де - постійні коефіцієнти, що залежать від вигляду схеми та її параметрів;

- зовнішній вплив на коло.

З математики відомо, що повний розв’язок лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами знаходять у вигляді суми часткового рішення неоднорідного рівняння й загального рішення відповідного однорідного рівняння:

(5.3)

Оскільки в правій частині диференціальних рівнянь (5.1, 5.2), що описують електричний стан кола, завжди перебуває напруга або струм джерела (зовнішня примусовасила), то часткове рішення знаходять із аналізу сталого режиму після комутації. Тому цей режим називають змушеним (примусовим) або сталим й відповідно струми і напруги, знайдені в цьому режимі - примусовими.

Для визначення примусової складової змінної, щодо якої складене диференціальне рівняння (5.1, 5.2), у випадку дії джерела постійної напруги або струму досить дорівняти до нуля всі похідні в рівнянні (5.1, 5.2). З перетвореного рівняння визначається примусова складова струму (напруги).

Для визначення виразу для вільної складової змінної складається однорідне диференціальне рівняння, що виходить з (5.1) або (5.2) шляхом «звільнення» його від правої частини. Фізично це означає, що досліджуване коло «звільняється» від зовнішньої, примусової сили.

Вільні складові струмів і напруг колає результатом дії внутрішніх джерел схеми: ЕРС самоіндукції, що виникають у котушках, і струмів конденсаторів, коли вони не врівноважені зовнішніми джерелами.

З курсу математики відомо, що вигляд розв’язку однорідного лінійного диференціального рівняння залежить від вигляду коренів характеристичного рівняння. Характеристичне рівняння виходить при заміні , де - корінь характеристичного рівняння.

Після складання характеристичного рівняння й підстановки чисельних даних визначаються його корені.Залежно від кількості й вигляду коренів записується в загальному вигляді алгоритм розв’язку (відомий з курсу математики).

Можливі наступні види коренів і відповідні їм розв’язки:

1. - різні дійсні корені, де п — число коренів;

(5.4)

(5.5)

де А₁,A₂,...A_n; B₁,B₂,…B_n—постійні інтегрування.

2. Серед n - дійсних коренів є пари однакових коренів ₃= ₄,

(5.6)

(5.7)

3. Серед n - коренів є пари комплексних коренів

(5.8)

(5.9)

або

(5.10)

(5.10)

(5.11)

Постійні інтегрування A₁,A₂,...A_n; B₁,B₂,…B_n і кут визначаються з початкових умов.

Початковими значеннями струмів і напруг називаються їхні значення при t = +0. Момент часу при t = + 0 визначає час безпосередньо після комутації.

 

Закони комутації

Кожному стану електричного кола відповідає запас енергії електричного й магнітного полів. Відповідно до закону збереження енергії при переході кола від одного стану до іншого енергія не може змінитися стрибком. Це пояснюється кінцевою швидкістю поширення електромагнітної енергії.

На підставі закону збереження енергії запишемо вираз для магнітної енергії котушки індуктивності та електричної енергії конденсатора:

W_м(-0)=W_м(+0); W_е(-0)=W_е(+0) (5.12)

де W_м(-0), W_е(-0) - значення енергії, запасеної в магнітному й електричному полях безпосередньо перед комутацією.

Виразимо енергію магнітних і електричних полів через струм i_L котушки індуктивності й напруги Ucна конденсаторі:

(5.13)

У випадку постійної індуктивності L=const і ємності C=const кола вирази (5.13) приймають наступний вигляд:

(5.14)

Запишемо закон збереження енергії з урахуванням виразів (5.14):

(5.15)

На підставі виражень (5.15) сформулюємо закони комутації:

Перший закон комутації: струм котушки індуктивності в початковий момент часу після комутації дорівнює струму котушки безпосередньо перед комутацією. Тобто у момент комутаціїструм котушки індуктивності не може змінитися стрибком: i_l (-0) = i _l (+0).

Другий закон комутації: напруга на конденсаторі в початковий момент часу після комутації дорівнює напрузі на конденсаторі безпосередньо перед комутацією. Тобто напруга на конденсаторі в момент комутації не може змінитися стрибком:U_c (-0) = = U_c (+0).