Занятие №5. Решение дифференциальных уравнений высших порядков

 

 

Цель занятия: знать типы дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка; уметь понижать порядок каждого из этих уравнений; находить решение этих уравнений; воспитание самостоятельных навыков работы, организованности, целеустремленности.

 

Учебные вопросы

 

1. Решение дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.

2. Решение физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям высших порядков.

 

Ход занятия

 

Студенты должны знать ответы на вопросы:

1. Типы дифференциальных уравнений высшего порядка, допускающие понижение порядка

2. Методы понижения порядка каждого из этих типов.

Основные рабочие формулы

 

I тип уравнения

(1)

Общее решение уравнения (1):

II тип уравнения

(2)

Подстановка:

III тип уравнения

(3)

Подстановка:

 

Решение дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка

 

Задача 1. Найти общее решение уравнения: и частное решение с начальными условиями: при .

Решение. (см. занятие 4, задача 1);

взять по ч ;

общее решение уравнения.

2) Найдем частное решение. Подставим начальные условия в полученное общее решение. Получим:

Подставив в общее решение значения постоянных, получим частное решение:

Ответ:

 

Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Найти общее решение уравнений:

Задача 2. .

Задача 3. .

 

Решить уравнения по образцу занятия 4 (задача 7).

Задача 4. .

Задача 5. .

 

Решить уравнения по образцу занятия 4 (задача 4).

Задача 6. .

Задача 7. .

 

Занятие №6. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

 

Цель занятия: усвоить навыки решения типовых линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; воспитание навыков самостоятельной деятельности, целеустремленности, организованности.

Учебные вопросы

 

1. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

Ход занятия

 

Студенты должны ответить на теоретические вопросы:

1. Определение линейного однородного уравнения п -го порядка с постоянными коэффициентами.

2. Понятие характеристического уравнения и методы его решения (вспомнить понятие дискриминанта и нахождение корней квадратного уравнения).

3. Формулы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения в зависимости от корней характеристического уравнения.

Рабочие формулы

 

1. Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(1)

2. Характеристическое уравнение:

(2)

3. Если корни характеристического уравнения действительны и различны , то частные решения:

и

Общее решение записывается в виде:

(3)

4. Корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е. , частные решения:

и .

Общее решение в этом случае:

(4)

5. Корни характеристического уравнения комплексные:

;

;

частные решения:

;

.

Общее решение уравнения (1) имеет вид:

(5)

Задача 1. Найти общее решение уравнения: .

Решение. 1. Составим характеристическое уравнение: .

2. Решаем алгебраическое квадратное уравнение. Получим корни: .

3. Т.к. корни действительные и различные, решение имеем в виде (3):

частные решения

общее решение.

Ответ:

 

Задача 2. Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Найти общее решение уравнения: .

Задача 3. Найти общее решение уравнения: .

Решение. 1) Составим характеристическое уравнение , оно имеет двукратный корень .

2) По формуле (4) общее решение имеет вид:

Ответ:

 

Задача 4. Решить самостоятельно по образцу задачи 3. Найти общее решение уравнения: .

 

Задача 5. Найти общее решение уравнения: .

Решение. 1) Составляем характеристическое уравнение , которое имеет корни: .

2) Общее решение по формуле (5) записывается:

,

частные решения:

,

,

где .

Ответ:

 

Задача 6. Решить самостоятельно по образцу задачи 5. Найти общее решение уравнения: .

 

Задание для самостоятельной работы

 

Решить уравнения:

Задача 7.

Задача 8.

Задача 9.

Задача 10.

Задача 11.

Задача 12.

Задача 13.

Задача 14.

Задача 15.

Задача 16.

Задача 17.

Задача 18.

Задача 19.

Задача 20.

Задача 21.

Задача 22.