Занятие №1. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

 

 

Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне умения решать типовые дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; воспитание самостоятельных навыков учебной деятельности, трудолюбия.

 

Учебные вопросы

 

1. Решение дифференциальных уравнений с разделенными и разделяющимися переменными.

2. Решение физических и геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

 

Ход занятия

 

Студенты должны предварительно подготовить теоретический материал лекции к данному практическому занятию по вопросам:

1. Понятие дифференциального уравнения первого порядка.

2. Общее решение дифференциального уравнения.

3. Частное решение, геометрическая иллюстрация.

4. Определение уравнения с разделенными переменными, его запись.

5. Понятие уравнения с разделяющимися переменными и его запись в общем виде.

6. Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

 

Основные рабочие формулы

 

1) Дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

(1)

общее решение:

(2)

2) Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

(3)

Приведение к виду (1) с разделенными переменными:

(4)

где

 

1. Решение дифференциальных уравнений с разделенными и разделяющимися переменными

 

Задача 1. Решить дифференциальное уравнение: удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. 1) Определяем тип дифференциального уравнения – с разделяющимися переменными.

2) Разделяем переменные, умножив обе части уравнения на один и тот же множитель:

Получим уравнение типа (1):

3) Решаем его, интегрируя обе части равенства:

4) Находим общее решение:

5) Находим постоянную интегрирования, подставив в общее решение начальные условия:

6) Находим частное решение, подставив значение постоянной интегрирования в общее решение:

Геометрически это совокупность (множество) точек , лежащих на гиперболе . Интегральная кривая – гипербола, проходящая через точку с координатами .

 

Задача 2. Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Решить дифференциальное уравнение: .

а) найти общее решение:

б) построить несколько интегральных кривых;

в) найти частный интеграл по начальным условиям: .

Указание. Переписать уравнение, подставив .

 

Задача 3. Решить уравнение: .

Задание то же, что и в предыдущем примере, начальные условия: .

 

Задача 4. Найти общее решение уравнения: .

 

Задача 5. Найти общее и частное решения уравнения:

при .

 

Задача 6. Решить уравнения:

1) ;

2) .

 

2. Решение физических и геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными

 

Задача 7. Скорость точки равна м/сек. Найти путь , пройденный точкой за промежуток времени сек от начала движения.

Решение. 1) Известно, для , тогда в нашем случае:

.

2) Подставим выражение скорости: .

3) Решаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

.

4) Так как в начале движения , то при ; Тогда .

5) Находим путь, пройденный точкой за сек:

(м).

Ответ: м.

 

Задача 9. Решить самостоятельно по образцу задачи 7. Скорость точки равна м/сек. Найти путь, пройденный точкой за время сек от начала движения.

 

Задача 10. Найти кривую, проходящую через т. , для которой отрезок любой ее касательной, заключенной между координатными осями делится пополам в точке касания.

Решение. Пусть есть середина касательной , по условию являющаяся точкой касания (рис. 1). В силу условия:

угловой коэффициент касательной к кривой в т. равен и равен:

.

Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой: .

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

Используя начальные условия, найдем: .

Тогда искомая кривая . Эта гипербола:

Рис. 1

Ответ:

 

 

Задание для самостоятельной работы

 

Задача 11. Задание аналогично задаче 2: .

 

Решить уравнения:

Задача 12. .

 

Задача 13. .

Задача 14. ;

Задача 15. ;

Задача 16. ;

Задача 17. ;

Задача 18. ;

Задача 19. ;

Задача 20. .

 

Вопросы для студентов

 

1. Объяснить алгоритм решения дифференциального уравнения, предложенного преподавателем из данного задания.

2. Ответить на теоретические вопросы, указанные в начале данного занятия.

3. Составить самостоятельно дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и решить его.