Занятие №4. Решение дифференциальных второго порядка, допускающих понижение порядка

 

 

Цель занятия: уметь решать типовые дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка; воспитание трудолюбия, организованности, самостоятельных навыков деятельности.

 

Учебные вопросы

 

1) Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.

 

Ход занятия

 

Проверка подготовки студентов к занятию. Студенты должны ответить на вопросы из лекции:

1. Назвать типы дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, и дать алгоритм решения каждого типа уравнений.

 

Рабочие формулы

 

1. Уравнения второго порядка, содержащие только производную второго порядка и функцию независимой переменной.

Уравнение вида:

(1)

Общее решение уравнения (1):

(2)

2. Уравнение, не содержащее явным образом искомой функции у.

Уравнение вида:

(3)

С помощью подстановки или

(4)

и соответственно , понижается порядок уравнения (3):

(5)

где .

Общее решение уравнения (3):

(6)

3. Уравнение второго порядка, не содержащее явным образом независимой переменной х.

Уравнение вида:

(7)

С помощью подстановки

(8)

понижается порядок уравнения (7):

где

 

1. Решение дифференциальных уравнений вида:

(1)

 

Задача 1. Найти общее решение уравнения

(*)

и выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям:

при .

Решение. Интегрируя последовательно уравнение (*), получим общее решение уравнения:

1) ;

2)

.

3) Найдем решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям. Подставляя начальные условия: в полученное общее решение, будем иметь:

.

Получим частное решение:

.

 

Задача 2. Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Найти общее решение уравнения:

и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

 

Задача 3. Найти общее решение уравнения и частное, удовлетворяющее начальным условиям .

2. Решение дифференциальных уравнений вида:

(3)

т.е. уравнения, не содержащего явным образом искомой функции y.

 

Задача 4. Решить уравнение:

(**)

Решение. 1) Сделаем подстановку , тогда .

Подставляя в (**) и , понижаем порядок уравнения:

Это линейное уравнение:

2) Решаем линейное уравнение, перепишем его, поделив на х:

.

Введем подстановку: ; .

Решаем уравнение:

.

Решаем другое уравнение с разделяющимися переменными, подставив полученное выражение :

;

.

Подставим полученные значения u и v:

.

3) Решаем уравнение:

;

общее решение уравнения (**).

Ответ:

 

Решить самостоятельно уравнения по образцу задачи 4:

Задача 5. .

Задача 6. .

 

3. Решение дифференциальных уравнений вида:

(7)

т.е. уравнений, не содержащих явным образом независимой переменной х.

 

Задача 7. Решить уравнение:

(***)

Решение. 1) Сделаем подстановку , тогда , т.к. .

2) Получим:

.

3) Решаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

4) Так как решаем дифференциальное уравнение:

;

общее решение уравнения (***).

Ответ:

 

 

Задача 8. Решить самостоятельно уравнение по образцу задачи 7:

.

 

Задание для самостоятельной работы

 

Решить уравнения:

Задача 9. при

Задача 10.

Задача 11.

Задача 12.

Задача 13. ;

Задача 14. ;

Задача 15. ;

Задача 16. ;

Задача 17. .