Занятие №7. Отыскание методом неопределенных коэффициентов частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с правой частью специального вида

 

 

Цель занятия: усвоить навыки решения неоднородных дифференциальных уравнений с правой частью специального вида методом неопределенных коэффициентов; воспитание навыков самостоятельной работы, целеустремленности, организованности.

Учебные вопросы

 

1. Решение линейных дифференциальных уравнений с правой частью специального вида:

.

2. Решение линейных уравнений с правой частью специального вида:

.

 

Ход занятия

 

Студенты должны ответить на вопросы лекции:

1) Алгоритм решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью специального вида 1.

2) Алгоритм решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью специального вида 2.

 

Рабочие формулы

 

Общее решение неоднородного уравнения

(1)

представляется как сумма частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения

(2)

Общее решение уравнения (1):

(3)

Нахождению общего решения однородного уравнения (2) посвящено занятие 6. Поэтому запишем формулы вычисления частных решения уравнения (1).

1) Для линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с правой частью специального вида:

(4)

частное решение ищется в виде:

(5)

где r – кратность корня характеристического уравнения, если является его корнем (если не является корнем характеристического уравнения, то ), полный многочлен п -ой степени с неопределенными коэффициентами.

2) Для линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью специального вида:

(6)

частное решение ищется в виде:

(7)

где кратность корня характеристического уравнения, если является корнем этого уравнения (если не является корнем характеристического уравнения, то ), и полные многочлены степени е с неопределенными коэффициентами, где

 

Алгоритм решения неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью

 

1. Определить, что данное уравнение имеет вид:

.

2. Составить и решить характеристическое уравнение.

3. Записать общее решение однородного дифференциального уравнения по одной из формул.

4. По виду правой части:

1) , или	(4)
2)	(6)

определить, является ли корнем характеристического уравнения; если да, то какова кратность этого корня .

5. Записать частное решение в виде (5) или (7) соответственно.

6. Найти методом неопределенных коэффициентов.

7. Записать общее решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле:

(3)

 

1. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с правой частью специального вида:

Задача 1. Найти решение уравнения: .

Решение. 1) Общее решение ищем в виде (3).

2) Составляем характеристическое уравнение однородного дифференциального уравнения

,

которое имеет кратные корни .

3) Общее решение однородного уравнения:

.

4) Находим частное решение неоднородного уравнения. Так как в правой части отсутствует , то , а число не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищем в виде:

,

а именно в виде многочлена того же порядка, что и многочлен в правой части заданного уравнения.

5) Подставляем составленное частное решение в исходное уравнение, предварительно найдем:

Тогда

Находим коэффициенты А и В, приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при одинаковых степенях х:

6) Подставляем полученные коэффициенты в частное решение :

.

7) Находим общее решение по формуле (3), подставив найденные решения и :

Ответ:

 

Задача 2. Решить самостоятельно уравнение по образцу задачи 1:

.

 

Задача 3. Найти решение уравнения: .

Решение. 1) Найдем решение однородного уравнения: для этого решаем характеристическое уравнение:

.

общее решение однородного уравнения.

2) Частное решение искомого уравнения составляется по виду правой части.

В правой части многочлен нулевой степени, а именно: По показателю находим что является однократным корнем характеристического уравнения, следовательно, в формуле (5). Поэтому частное решение ищем в виде:

Тогда:

3) Подставим полученные выражения в исходное уравнение и найдем А:

4) Общее решение искомого уравнения:

Ответ:

 

Задача 4. Решить самостоятельно уравнение по образцу задачи 3:

 

2. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с правой частью специального вида:

 

Задача 5. Найти решение уравнения:

Решение. 1) Ищем решение однородного уравнения:

характеристическое уравнение,

корни этого уравнения.

2) Общее решение однородного уравнения:

3) Частное решение исходного уравнения.

Так как в правой части этого уравнения отсутствует , то . Далее, , следовательно: .

Так как такого корня нет среди корней характеристического уравнения (сравним ), то в формуле (7) , т.е. кратность корня характеристического уравнения равна нулю. В правой части перед стоит многочлен нулевой степени: Следовательно, частное решение исходного уравнения ищем в виде:

где А и В – многочлены нулевой степени.

4) Находим и :

;

.

5) Подставим полученные выражения в искомое уравнение, получим:

.

6) Приравнивая коэффициенты при и в обеих частях равенства, получим:

т.к. в правой части отсутствует член с . Получим:

.

7) Частное решение:

8) Находим общее решение:

Ответ:

 

Задача 6. Решить самостоятельно уравнение по образцу задачи 5:

.

 

Задание для самостоятельной работы

 

Решить уравнения:

Задача 7. .

Задача 8. .

Задача 9. .

Задача 10. .

Задача 11. .

Задача 12. .

Задача 13. .