Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Основные типы дифференциальных уравнений, применяемых для описания механических процессовСтр 1 из 3Следующая ⇒
Основные типы дифференциальных уравнений, применяемых для описания механических процессов 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида f1(x)φ1(y)dx + f2(x)φ2(y)dу=0 - уравнение с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), φ1(y), f2(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2(x), φ1(y) оно приводится к виду Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.). При помощи уравнений данного типа описывают: · движение тела массой m под действием сопротивления среды; · закон изменения температуры тела в зависимости от времени; · закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты и др. Однородные дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение вида Р(х,у)dх + Q(х,у)dу= 0 называется однородным, если Р(х,у) и Q(х,у)dу – однородные функции одинаковой степени. (Функция f(х,у) называется однородной функцией степени n, где n – целое, если при любом α имеет место тожество f(αх, αу) = αn f(х,у).) В частности, функция f(х,у) однородная нулевой степени, если f(αх, αу) = f(х,у) Уравнение может быть приведено к виду у′= Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной: =u, т.е. у= uх, где u = u(х), - новая неизвестная функция (можно также применять подстановку =u). Уравнение в полных дифференциалах. Уравнение Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции т.е. Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = du(х;у). В этом случае ДУ можно записать в виде du(х;у) = 0, а его общий интеграл будет: u(х;у) = с. Условие, по которому можно судить, что выражение Δ = Р(х;у)·dx + Q(х;у) – полный дифференциал: . Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной. Уравнение Лагранжа Уравнение вида у = х·φ(у') + ψ(у'), где φ и ψ известные функции от у' = называется уравнением Лагранжа. Введем вспомогательный параметр, приняв у' = р. Тогда уравнение примет вид у = х·φ(р) + ψ(р).
Дифференцируя по х, получим: = φ(р) +х·φ'(р)· + ψ'(р)· т.е. или - линейное уравнение относительно неизвестной функции х = х(р). Решив его, найдем: х = λ(р;с). Исключая параметр р из уравнений, получаем общий интеграл уравнения в виде у = γ(х; с). При делении на могли быть потеряны решения, для которых =0, т. е. р = ро = соnst. Это значение ро является корнем уравнения р—φ(р) = 0. Решение у = х·φ(ро)+ψ(ро) является особым для уравнения.
Уравнение Клеро Частный случай уравнения Лагранжа - при φ(у') = у ' уравнение принимает вид у = х·у' + ψ(у') и называется уравнением Клеро. Приняв у' = р, получаем: у = хр + ψ(р) Дифференцируя по х, имеем р = р + х· + ψ'(р)· или (х + ψ'(р))· = 0 Если = 0, то р = с. Поэтому, ДУ имеет общее решение у = хс + ψ(с) Если х = — ψ'(р), у = хр + ψ(р). Это решение особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения. Колебательные движения Линейными называются колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями. При движении материальной точки может действовать сила упругости, стремящаяся вернуть точку к некоторому положению. Эта сила упругости называется восстанавливающей, В большинстве задач рассматривается восстанавливающая сила F изменяющаяся по линейному закону (по закону Гука). При растяжении пружины эта сила прямо пропорциональна удлинению F=—с Δ х, где Δх — смещение конца пружины из ненапряженного состояния, с — коэффициент упругости (коэффициент жесткости), численно равный силе, которую надо приложить к пружине для того, чтобы изменить ее длину на единицу. Свободными называются колебания материальной точки, которые происходят под действием восстанавливающей силы. При движении материальной точки М массы m по горизонтальной оси х под действием восстанавливающей силы F, равной по модулю F = с|х|, имеет место дифференциальное уравнение движения. x″+k2x=0, где k2=с/m. Влияние силы сопротивления на свободные колебания материальной точки. При движении материальной точки в среде, препятствующей движению (воздух, жидкость), возникает сила сопротивления движению. Эта сила при малых скоростях движения точки может приближенно считаться прямо пропорциональной первой степени скорости точки: R = βv, где β — постоянный коэффициент; при больших скоростях — квадрату скорости точки: R = β1v2, где β1— постоянный коэффициент.
Рассмотрим свободные колебания материальной точки при наличии силы, пропорциональной первой степени скорости точки: R = βv. В этом случае дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид: x″+2n x′+k2x=0, где k2=с/m, 2n= β/ m.
Вынужденные колебания. Резонанс. Рассмотрим случай, когда на колебательную систему действует периодическая внешняя сила f(t)=а sinω1t, предполагая для простоты, что сопротивление среды отсутствует (μ=0). В этом случае уравнение движения принимает вид Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения является суммой общего решения у соответствующего однородного уравнения, и частного решения ỹ неоднородного уравнения, которое надо найти. Рассмотрим отдельно два случая. а) ω≠ω1, т. е. частота внешней периодической силы отлична от частоты свободных колебаний груза. Так как число iω не совпадает с корнем характеристического уравнения k2 +ω2= = 0, то частное решение можно найти в виде ỹ = А соsω1 t + В sin ω1 t. Дифференцируя ỹ дважды и подставляя и ỹ и ỹ″ в уравнение найдем: В = , А=0. Таким образом, ỹ = sinω1t и общее решение уравнения имеет вид: у = ỹ + У = sinω1t + А sin(ωt+φ) Отсюда следует что частное решение ỹ определяет колебание системы, создаваемое внешней силой, общее решение У=А sin(ωt+φ) — свободное колебание груза, а общее решение у — сложное колебательное движение, получающееся в результате сложения двух колебаний с разными частотами ω и ω1. В этом случае амплитуда постоянна, и если ω и ω1 близки по величине, то груз совершает колебания около положения равновесия с большой амплитудой. б) ω=ω1 т. е. частота внешней периодической силы совпадает с частотой свободных колебаний груза. Так как iω1= iω — корень характеристического уравнения k2 + ω2 = 0, то в этом случае частное решение следует искать в виде ỹ= t(А соsωt + В sinωt.). Дифференцируя ỹ дважды и подставляя ỹ и ỹ″ в уравнение найдем: А= , В=0. Таким образом, ỹ = и общее решение уравнения имеет вид у= ỹ +У=А sin(ωt+φ) Следовательно, в данном случае имеет место сложное колебательное движение, получающееся в результате сложения двух колебаний, но с одинаковыми частотами. Наличие множителя t во втором члене свидетельствует, что амплитуда колебаний неограниченно возрастает при неограниченном возрастании времени t, т. е. груз будет совершать через некоторый промежуток времени колебания с очень большой амплитудой, даже если амплитуда а внешней силы мала. Это явление называется резонансом. Иногда оно приводит к разрушению колеблющихся систем.
2. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Рекомендуемая литература:
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1988. 2. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. - К.: Видавництво А.С.К., 2003. 3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1978. – Том 1. 4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.-М.: «Айрис-пресс», 2007 5. Смирнов В.И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1974. 6. Шипачев В.С., Высшая математика.-М.: «Высшая школа», 2006 7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — т. 2,3 М.: Наука, 1966. Основные типы дифференциальных уравнений, применяемых для описания механических процессов 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида f1(x)φ1(y)dx + f2(x)φ2(y)dу=0 - уравнение с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), φ1(y), f2(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2(x), φ1(y) оно приводится к виду Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.). При помощи уравнений данного типа описывают: · движение тела массой m под действием сопротивления среды; · закон изменения температуры тела в зависимости от времени; · закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты и др.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 189; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.216.18 (0.037 с.) |