Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение вида Р(х,у)dх + Q(х,у)dу= 0 называется однородным, если Р(х,у) и Q(х,у)dу – однородные функции одинаковой степени.

(Функция f(х,у) называется однородной функцией степени n, где n – целое, если при любом α имеет место тожество f(αх, αу) = αⁿ f(х,у).)

В частности, функция f(х,у) однородная нулевой степени, если f(αх, αу) = f(х,у)

Уравнение может быть приведено к виду у′=

Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной: =u, т.е. у= uх, где u = u(х), - новая неизвестная функция (можно также применять подстановку =u).

Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение вида у′ +р(х)у = q(х), (1)

где р(х) и q(х) - непрерывные функции (в частности — постоянные), называется линейным уравнением первого порядка.

Уравнение х'+р(у)х = q (у) является линейным относительно х и х′.

Если q (х) ≡ 0, то уравнение (1) принимает вид у'+р(х)у = 0 и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. В случае q (х) не тождественно 0 уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением.

Решение уравнения (1) находится в виде у = uv, где u = u(х) и v = v(х) — неизвестные функции от х (метод Бернулли). При этом одну из этих функций (например, v(х)) можно выбрать произвольно (из соображений удобства), тогда вторая определится из уравнения (1). В обоих случаях они находятся из уравнений с разделяющимися переменными.

Кроме того, уравнение (1) можно решить методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа); в этом случае его общее решение ищется в виде:

С(х)·е ^-∫p(x)dx.

Уравнение вида: у'+р(х)у= f(x)уⁿ,

где nÎR; n≠0; n≠1, а р(х) и f(х) — непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.

Оно приводится к линейному уравнению с помощью подстановки z = y^-n+1. Уравнение Бернулли можно, не сводя к линейному, проинтегрировать с помощью подстановки у = uv (т. е. методом Бернулли) или применив метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Уравнение в полных дифференциалах.

Уравнение Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции т.е. Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = du(х;у).

В этом случае ДУ можно записать в виде du(х;у) = 0, а его общий интеграл будет: u(х;у) = с.

Условие, по которому можно судить, что выражение Δ = Р(х;у)·dx + Q(х;у) – полный дифференциал: .

Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной.

Уравнение Лагранжа

Уравнение вида у = х·φ(у') + ψ(у'),

где φ и ψ известные функции от у' = называется уравнением Лагранжа.

Введем вспомогательный параметр, приняв у' = р.

Тогда уравнение примет вид у = х·φ(р) + ψ(р).

 

Дифференцируя по х, получим: = φ(р) +х·φ'(р)· + ψ'(р)·

т.е. или - линейное уравнение

относительно неизвестной функции х = х(р). Решив его, найдем: х = λ(р;с).

Исключая параметр р из уравнений, получаем общий интеграл уравнения в виде у = γ(х; с).

При делении на могли быть потеряны решения, для которых =0, т. е. р = р_о = соnst. Это значение р_о является корнем уравнения р—φ(р) = 0.

Решение у = х·φ(р_о)+ψ(р_о) является особым для уравнения.

 

Уравнение Клеро

Частный случай уравнения Лагранжа - при φ(у') = у ' уравнение принимает вид

у = х·у' + ψ(у') и называется уравнением Клеро.

Приняв у' = р, получаем: у = хр + ψ(р)

Дифференцируя по х, имеем р = р + х· + ψ'(р)· или (х + ψ'(р))· = 0

Если = 0, то р = с. Поэтому, ДУ имеет общее решение у = хс + ψ(с)

Если х = — ψ'(р), у = хр + ψ(р). Это решение особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.