Особые решения ДУ-1-ПРОП. Способы их отыскания.

Особое решение – решение, содержащее континуум особых точек.

Чтобы найти кривые, подозрительные на особое решение, надо найти геометрическое место точек, в которых не действует теорема Коши-Пикара. Если они образуют одну или несколько кривых, то это – кривые, подозрительные на особое решение.

Проверка кривой , подозрительной на особое решение:

1) проверить, является ли она решением

2) подставляем в общий интеграл . Разрешаем это соотношение относительно . Возможны три случая:

# не существует, тогда - обыкновенное решение. По отношению к ИК из общего решения - асимптота, и ее уравнение надо приписать к общему решению

# , тогда - обыкновенное решение, ее уравнение не надо приписывать к общему решению.

# , тогда - особое решение. По отношению к ИК общего решения - огибающая (в каждой точке касается только одну кривую семейства и вся состоит из этих точек касания).

ДУ 1 порядка с разделяющимися переменными и приводимые к ним.

I.

Теорема: пусть в области и определены и непрерывны, , тогда общий интеграл дается квадратурой и задача Коши , где имеет единственное решение.

Доказательство: для любой точки из может быть получено единственное решение удовлетворяющее условию . Перепишем в виде: ; ; . Рассмотрим , . - непрерывная, - непрерывная. Для выполняются условия теоремы о неявной функции, значит, найдется , обращающая уравнение в тождество: . Дифференцируем по : ; ; . Теорема доказана.

Если , то - решение, подозрительное на особое.

II.

Теорема: пусть в области : определены и непрерывны, , . Тогда общий интеграл дается квадратурой и задача Коши , где имеет единственное решение.

Доказательство: . Если , то . Сомножители непрерывны, значит, по предыдущей теореме - общий интеграл. Если , то и общий интеграл определяется аналогично. Теорема доказана.

Если , то - решение, подозрительное на особое. Если , то - решение, подозрительное на особое. Точка - особая.

III.

Такое уравнение решается аналогично предыдущему, но , если , не является решением, если .

IV.

Замена , где - новая неизвестная функция приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

Иногда уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными некоторой заменой .

Однородные ДУ 1 порядка

или .

Уравнение - однородное, если - однородная функция нулевой степени однородности. Уравнение - однородное, если функции однородные одной степени однородности.

Функция - однородная степени , если .

Свойства однородного уравнения:

1) Для

2) Точка - особая

3) Изоклины – прямые, проходящие через .

4) ИК симметричны относительно .

Теорема: однородное уравнение для заменой , где - новая неизвестная функция, приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Доказательство: : ;

; , значит . Подозрительными на особые являются решения и .

Иногда удобнее делать замену .