ДУ-1-ПРОП. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.

Основные понятия о ДУ.

ДУ – уравнения, в которые входят не только неизвестные функции, но и их производные. Если искомая функция зависит от одной независимой переменной, то такое ДУ – обыкновенное. Если же она зависит от нескольких переменных, то это уравнение в частных производных.

Может рассматриваться как одно ДУ, так и их система.

Обыкновенное ДУ – соотношение , связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производную.

Порядок ДУ – порядок старшей производной.

Решение - функция , непрерывная, раз дифференцируемая и обращающая уравнение в тождество.

ДУ используются при построении математических моделей динамических систем.

Динамическая система – система, эволюционирующая с течением времени и допускающая описание в виде состояния.

Состояние – описание, по значению которого в данный момент времени можно однозначно указать, значение в любой момент времени. , где - однозначный оператор. Переменные, описывающие состояние – фазовые. Пространство фазовых переменных – фазовое.

Предполагается, что между состояниями динамической системы и точками фазового пространства установлено взаимнооднозначное и взаимнонепрерывное соответствие.

Математическая модель динамического процесса – совокупность фазового пространства , интервала изменения времени и оператора .

Этапы построения матмодели:

1) Выбор и идеализация

2) Выбор переменных, характеризующих состояние и введение систем их отсчета.

3) Выбор физического закона и построение оператора .

4) Построение приведенной модели.

Качественное исследование ДУ-1-ПРОП. Изоклины. Линия экстремумов и линия перегибов интегральных кривых.

Качественное исследование – построение ИК, исходя из свойств , минуя нахождение общего решения.

Этапы качественного решения:

1) найти область определения с учетом

2) найти кривые, подозрительные на особое решение (нарушена непрерывность )

3) найти главные изоклины (геометрическое место точек, в которых наклон поля одинаков). ,

4) выделить область монотонности ИК. : ИК ; : ИК .

5) установить симметрию ИК относительно осей координат. Если уравнение не меняется при замене на и на , то есть симметрия относительно . Если уравнение не меняется при замене на и на , то есть симметрия относительно .

6) Найти линию экстремумов ИК – геометрическое место точек , т.е. изоклина горизонтального наклона, если , то экстремум будет минимумом, - максимумом. Эти неравенства эквивалентны и соответственно.

7) Найти линию перегиба ИК, т.е. геометрическое место точек ()

Однородные ДУ 1 порядка

или .

Уравнение - однородное, если - однородная функция нулевой степени однородности. Уравнение - однородное, если функции однородные одной степени однородности.

Функция - однородная степени , если .

Свойства однородного уравнения:

1) Для

2) Точка - особая

3) Изоклины – прямые, проходящие через .

4) ИК симметричны относительно .

Теорема: однородное уравнение для заменой , где - новая неизвестная функция, приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Доказательство: : ;

; , значит . Подозрительными на особые являются решения и .

Иногда удобнее делать замену .

ДУ Лагранжа

- ДУ Лагранжа.

Предположим, что одновременно, - непрерывные. Пусть , тогда разрешим уравнение относительно : . Пусть , тогда , , , . Если , то можно разрешить по : . Получено линейное уравнение первого порядка, оно всегда интегрируемо в квадратурах, поэтому ДУ Лагранжа также всегда интегрируемо в квадратурах.

Пусть найдено общее решение , тогда общее решение ДУ Лагранжа имеет вид .

Если есть такие , что , тогда будут решениями. - это так называемые интегральные прямые уравнения Лагранжа. Среди них могут быть особые решения.

ДУ Клеро

- ДУ Лагранжа.

Предположим, что одновременно, - непрерывные. Пусть , тогда разрешим уравнение относительно : . Пусть , тогда , , , . Если , т.е. и ДУ имеет вид , то это ДУ Клеро.

Решим введением параметра : , ,

Если , то , и - общее решение ДУ Клеро (прямые).

Если , , ,

, значит, это решение. Если заменить на с, то получим общее решение уравнения Клеро. Найдем кривые, подозрительные на особое решение с помощью огибающей:

, , - решение (*). Возьмем и параметр : , , значит, . , значит, (*) – особое решение.

Существует сокращенный способ решения ДУ Клеро. Общее решение получается заменой . Особое решение – огибающая этого семейства прямых. Если , т.е. , то вместо особого решения имеем особую точку , через которую проходят все интегральные прямые .

Основные понятия о ДУ.

ДУ – уравнения, в которые входят не только неизвестные функции, но и их производные. Если искомая функция зависит от одной независимой переменной, то такое ДУ – обыкновенное. Если же она зависит от нескольких переменных, то это уравнение в частных производных.

Может рассматриваться как одно ДУ, так и их система.

Обыкновенное ДУ – соотношение , связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производную.

Порядок ДУ – порядок старшей производной.

Решение - функция , непрерывная, раз дифференцируемая и обращающая уравнение в тождество.

ДУ используются при построении математических моделей динамических систем.

Динамическая система – система, эволюционирующая с течением времени и допускающая описание в виде состояния.

Состояние – описание, по значению которого в данный момент времени можно однозначно указать, значение в любой момент времени. , где - однозначный оператор. Переменные, описывающие состояние – фазовые. Пространство фазовых переменных – фазовое.

Предполагается, что между состояниями динамической системы и точками фазового пространства установлено взаимнооднозначное и взаимнонепрерывное соответствие.

Математическая модель динамического процесса – совокупность фазового пространства , интервала изменения времени и оператора .

Этапы построения матмодели:

1) Выбор и идеализация

2) Выбор переменных, характеризующих состояние и введение систем их отсчета.

3) Выбор физического закона и построение оператора .

4) Построение приведенной модели.

ДУ-1-ПРОП. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.

- уравнение разрешенное относительно производной. Решение – непрерывная и дифференцируемая функция , обращающая уравнение в тождество.

Задача Коши: .

Рассмотрим уравнение . - общее решение. Пусть поставлена задача Коши , тогда - частное решение.

Общий интеграл: .

Общее решение может быть записано в форме Коши. Роль произвольной постоянной играет при некотором значении , т.е. надо решить задачу Коши .

; ; - общее решение в форме Коши.

Теорема Коши-Пикара: пусть дано уравнение и поставлена задача Коши . Если в области выполняются условия: 1) определена и непрерывна по всем переменным; 2) , где - константа Липшица. Тогда задача Коши имеет одно решение, определенное, непрерывное и непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности , где .

Достаточное условие выполнение условия Липшица – существование .

Доказательство: по т. Лагранжа .

.

Теорема Пеано: пусть дано уравнение и поставлена задача Коши . Если в области функция определена и непрерывна по всем переменным, то задача Коши имеет хотя бы одно решение.