Теорема о продолжении решения задачи Коши. Продолжаемые и непродолжаемые решения.

В теореме Коши-Пикара доказано существование и единственность решения задачи Коши на . Если , то вокруг этой точки можно построить прямоугольник, в котором будут выполняться условия теоремы Коши-Пикара. Необходимо получить единственное решение на , причем , следовательно, по теореме Коши-Пикара они будут совпадать на отрезке.

Решение - продолжение решения . Аналогичные рассуждения проводятся, пока не получаем точку на границе .

Решение, продолжаемое вправо и/или влево – продолжаемое. Решение, не продолжаемое ни вправо, ни влево – непродолжаемое.

Теорема: при выполнении теоремы Коши-Пикара в ограниченной замкнутой области решение продолжаемо до границы.

Теорема: если определена и непрерывна в и удовлетворяет условию Липшица во всякой ограниченной области этой плоскости, то всякая ИК неограниченно продолжаема до или имеет вертикальную асимптоту при конечном .

Таким образом, ИК может быть непродолжаемой ввиду приближения к точке нарушения условий Коши-Пикара или ввиду приближения к асимптоте.

Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров.

Теорема: пусть функция в области при изменении параметров в конечной области удовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности ; 2) ; 3) не зависит от . Тогда можно указать промежуток , в котором задача Коши имеет единственное решение, непрерывно зависящее от параметров: определено единственное решение и .

Доказательство: аналогично доказательству теоремы Коши-Пикара.

1)

2) Рассмотрим последовательность пикаровых приближений:

Все оценки сохраняются, т.к. не зависит от параметров. Последовательность приближений, являющихся непрерывными функциями от , равномерно сходится к точному решению, непрерывному по .

Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий.

Теорема: пусть дано - уравнение (1). - задача Коши (2). Пусть в области функция удовлетворяет теореме Коши-Пикара, тогда можно указать промежуток , в котором задача Коши (2) имеет единственное решение , непрерывно зависящее от начального условия, т.е.

Доказательство: сведем вопрос о зависимости от начальных условий к вопросу зависимости от параметров:

, т.е. , , , .

Если , то по теореме о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров, задача Коши имеет единственное решение, непрерывно зависящее от - . .

, т.е. .

Решение, для которого близость сохраняется при любых больших значениях аргумента – устойчивое, т.е.