Решение алгебраических и нелинейных уравнений

Нелинейные уравнения вида F(х)=0 принято называть алгебраическими, если они содержат только алгебраические функции и трансцендентными, если они содержат другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и т. д.).

Корнем уравнения f(х)=0, где f(х) - функция непрерывная и дифференцируемая на отрезке [а,b] и в граничных точках, называется всякое число c, принадлежащее отрезку [а,b], такое, что f(с)=0.

Процесс нахождения корней состоит из двух этапов: отделения корней и уточнения значения корней на отрезках отделения с заданной точностью.

Отделением корней называется процесс выделения из области определения функции f отрезков [а,b], в каждом из которых содержится один и только один корень уравнения f(х)=0.

Корни уравнения могут находиться на интервалах, определяемых переменой знака функции, между критическими точками. К критическим относятся точки, в которых производная от функции f(х) обращается в нуль, а также граничные точки.

В электронной таблице отделение корней можно выполнить путем табулирования функции с некоторым, достаточно малым, шагом. Областями отделения корней будут значения аргументов, между которыми происходит смена знака функции.

Под уточнением значения корня с заданной точностью h понимают сужение границ отрезка [а,b] до длины, не превосходящей h. Уточнение значения корня на отрезке отделения осуществляется различными методами одномерной поисковой оптимизации: простых итераций, деления отрезка пополам, касательных, хорд, наискорейшего спуска и др.

Для уточнения значения корня в Excel могут применяться все названные методы. В настоящем пособии рассмотрены три метода:

- простое табулирование;

- метод простых итераций;

- метод Ньютона (метод касательных).

Метод простого табулирования не имеет ограничений, но малоэффективен, требует большого числа ручных операций. Условием окончания процедуры поиска является достижение функцией f(х) заданного значения: f(x_i)<е, - где е - заданные требования к точности поиска корня.

Метод простых итераций более эффективен. Он сходится, если f'(х)<0. Для его реализации необходимо функцию f(x)=0 преобразовать к рекуррентному виду:

x_i+1=j(x_i ).

Табулировать необходимо правую часть выражения. Для первой формулы в качестве аргумента используется начальное приближение Х_о (как правило, одна из границ отрезка отделения), для последующих формул - значение корня на предыдущем шаге, т. е. f(x_i). Начальное приближение выбирается произвольно. Условие окончания процедуры вычисления j(x_i+1)- j(x_i)<e.

Метод Ньютона самый эффективный метод. Он обеспечивает сходимость за минимальное число шагов. Однако этот метод накладывает серьезные ограничения на вид функции. Функция должна быть дважды дифференцируема. Для поиска корня в этом методе, также как и в методе простых итераций, составляется рекуррентная формула:

x_i+1=x_i - f(x_i)/f'(x_i).

Табулировать необходимо правую часть выражения. Начальное приближение выбирается на одной из границ отрезка отделения корня. В качестве начального приближения x_о выбирается граница b, если f'(x)*f"(x)>0, и граница а, если f'(x)*f"(x)<0. Для первой формулы в качестве аргумента используется начальное приближение x_о, для последующих формул - значение корня на предыдущем шаге, т. е. f(x_i). Условием окончания процедуры уточнения корня является достижение функцией значения меньше заданного - f(x_i+1)<=e.

Значение Dх можно принять в интервале от 0.0001 до 0.00001

Все указанные методы могут быть реализованы с помощью функций пользователя, разработанных с помощью встроенного языка программирования Visual Basic for Application (VBA).

Другим способом решения линейных и нелинейных уравнений является использование возможностей программы Excel по оптимизации решений. Для этой цели служат команды Подбор параметра и Поиск решения меню Сервис. Если команды Поиск решения нет в меню Сервис, то ее необходимо загрузить командой Сервис, Надстройки. Функция Поиск решения может использоваться для решения различных задач оптимизации в том числе и задач линейного программирования.

Использование возможностей Excel по оптимизации рассмотрим в Лабораторной работе № 6.

Контрольные вопросы

1. В чем отличие алгебраического уравнения от трансцендентного?

2. Что называется корнем уравнения?

3. Что такое отделение корня? Для какой цели оно производится?

4. Что такое уточнение значения корня, какими методами оно осуществляется?

5. Поясните, в чем заключается метод простых итераций?

6. Поясните принцип использования метода касательных для уточнения значения корня.

7. Что такое рекуррентная формула, как она получается?

8. Какие команды Excel могут использоваться для решения линейных и нелинейных уравнений?

9. Поясните порядок решения уравнения с помощью команды Подбор решения?

10. Поясните порядок решения уравнений с помощью команды Поиск решения?

Лабораторная работа №6