Фазовые соотношения между падающей, отраженной и преломленной волнами на границе раздела сред.

Рассмотрим задачу о прохождении электромагнитной волны через плоскую границу двух диэлектрических сред I и II (одной из них может, в частности,быть и вакуум). Эта ситуация представлена на рисунке 2.6.1(а), (б) для случая двух различных поляризаций. Направление электрического и магнитного векторов соответствует правилу, согласно которому k, E, B образуют правую тройку. Мы использовали в качестве магнитного вектора H, поскольку именно для него будем писать соответствующее граничное условие. Заметим, что магнитное поле ориентированно на рис. 2.6.1(а) так же, как электрическое поле на рис. 2.6.1(б) (с точностью до знака), а на рис. 2.6.1(б) – ортогонально плоскости рисунка. Результаты которые мы получили, можно переносить и на случай искривленной поверхности раздела. Она лишь должна быть гладкой, а радиус кривизны ее должен многократно превосходить характерный пространственный масштаб электромагнитного поля – длину волны. Т.о. мы опишем действие на электромагнитную волну, в частности, поверхности линзы. Все расчеты линз, тонких и толстых, а также и сложных оптических систем базируются именно на законе преломления. Мы будем пользоватmся не понятием луча, принятым в геометрической оптике, а более корректным с точки зрения электродинамики понятием волнового фронта; «лучи»- падающий, отраженный и преломленный – изображенные на рис.2.6.1, представляют в наших терминах нормали к волновому фронту, направление которых задается вектором k.

Рис.2.6.1

Пусть показатели преломления сред I и II равны, соответственно (в вакууме просто единице). Мы показали на каждом из рисунков 2.6.1 три волны: падающую (i), отраженную (r), и преломленную (d). Это экспериментальный факт, известный каждому школьнику, но даже не зная этого заранее, можно было бы его предсказать, исходя из уравнений Максвелла. В случае падения электромагнитной волны на проводящую поверхность у нас «работало» единственное нетривиальное граничное условие – закон сохранения тангенциальной компоненты электрического поля, а все остальные выполнялись должным образом за счет зарядов и токов, индуцированных на поверхности проводника Теперь такой возможности нет, так как мы имеем с диэлектрическими средами, а поэтому всего лишь одной волны помимо падающей, нам просто не хватит. В каждой из двух ситуаций на рис. 2.6.1 нам придется выполнять условие непрерывности и . Третье условие - сохранение в случае, изображенном на рис. 2.6.1 (а), и в случае рис. 2.6.1(б) - -будет выполнено автоматически как следствие закона преломления.

Еще один вопрос, на который целесообразно ответить заранее: правомерно ли разделение постановки задачи именно на те два случая, которые представлены на рис. 2.6.1(а) и (б)? Не могут ли возникнуть отраженные либо преломленные волны с поляризацией, ортогональной таковой в падающей волне? Ответ: не могут, и это прямое следствие уравнений Максвелла и граничных условий. В силу линейности задачи, мы можем расщепить решение уравнений Максвелла на два линейно независимых, соответствующих двум различным поляризациям. Выбирая решение с одной из поляризаций – той же что и падающей волны, мы оперируем с полями трех волн,что позволяет выполнить граничные условия , или . При попытки выполнить их для другой поляризации нам опять не хватит переменных, т.к. в нашем распоряжении будет только две волны, без падающей, так что единственным возможным решением с такой поляризацией окажется нулевое поле. Разумеется, эти рассуждения находятся в полном с экспериментальными данными. Пусть все три волны записаны в виде . (2.6.1)

Очевидно, для линейной среды зависимость H (r,t) или B( r,t) будет иметь точно такой же вид. Воспользуемся для случая (а) граничным условием

а для случая (б)

(мы учли, что в обоих случаях в соотношение входят параллельные векторы). Поскольку дальнейшие действия для обеих поляризаций совершенно идентичны, мы ограничимся случаем рис.2.6.1 (а). Пусть в какой тог момент граничное условие выполнено. Однако оно сразу же нарушится, если зависимость от времени не будет одинаковой для всех трех полей. Это означает, что частота всех трех волн должна быть одинаковой (и действительно, отражение от прозрачной среды и преломление в ней «сохраняют цвет»). Далее введем в плоскости падения вдоль границы сред координату x. Из поперечности волн и паралельности векторов следует, что все три волновых вектора лежат в одной плоскости – падения. Вдоль оси Ox произведения kr в формулах типа (2.6.1) вырождаются в .Т.о., граничное условие при равных частотах сводится к следующему:

Мы воспользовались обозначением углов рис.2.6.1 и учли,что из равенства частот для падающей и отраженной волн следует равенство волновых чисел. Для преломленной волны волновое число определяется формулой

Теперь потребуем, чтобы наше граничное условие выполнилось в любой точке оси Ox. Для этого необходимо,чтобы экспоненциальные множители были тождественно равны друг другу, а значит, равны должны быть и их аргументы:

.

Мы получили аналитически из законов электродинамики хорошо известные правила вычисления углов отражения и преломления: