Рассмотрим критерии Манна-Уитни и Вилкоксона.

Критерий Манна-Уитни и критерий Вилкоксона – критерии ранговые, т.е. основанные на сравнении сумм рангов, полученных тем или иным образом из сравниваемых выборочных распределений. В данном конкретном случае рангом называется порядковыйномер числа в ранжированном (расставленном в порядке возрастания) массиве данных – чем больше число, тем выше его ранг. При этом, если числа не повторяются, то их ранги в точности соответствуют их порядковым номерам. Если же некое число повторяется несколько раз, то всем им приписывается средний ранг. Продемонстрируем, как все это происходит и выглядит. Допустим, мы получили следующий вариационный ряд данных x:

5.6 11.7 -3.5 6.3 8 7.4 0.5 8 3 3.1 15.2 3.1 8 6.7 111 4.4

Здесь числа представлены в том порядке, как они были получены.

Расставим их в порядке возрастания и припишем порядковые номера, а также ранги R:

 

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
x	-3.5	0.5	3	3.1	3.1	4.4	5.6	6.3	6.7	7.4	8	8	8	11.7	15.2	111
R	1	2	3	4.5	4.5	6	7	8	9	10	12	12	12	14	15	16

 

Из приведенного примера хорошо видно, что при ранжировании происходит «линеаризация данных» - сглаживание их резких колебаний за счет того, что ранг числа не зависит от его абсолютной величины и разницы с соседними вариантами. Например, последнее число 111 чуть ли не на порядок превышает ближайшее к нему 15.2. Тем не менее, ранг его всего на 1 выше, чем у предпоследнего числа.

Ранговые критерии для сравнения выборочных совокупностей делятся на две группы – для независимых и зависимых выборок.

Критерий Манна-Уитни – ранговый критерий для сравнения независимых выборок.

Критерий парных сравнений Вилкоксона– ранговый критерий для сравнения зависимых выборок.

Рассмотрим его на примере. У 10 здоровых взрослых людей измеряли кровяное давление после введения кофеина и плацебо. Получены следующие данные для «верхнего», систолического давления СД:

x(кофеин)
y(плацебо)

Возникает вопрос, можно ли на основании этих данных полагать, что кофеин оказывает физиологическое действие.

Вначале значения одного ряда строго попарно вычитают из значений другого с учетом знака разницы d. Вычтем нижний ряд из верхнего:

x(кофеин)
y(плацебо)
d				-4					-10

Далее разницы ранжируют по известным правилам, но при этом не учитывают знак разницы (т.е. ранжируют по модулю). Нулевую пару отбрасывают.

d				-4				-10
R	1.5	1.5					7.5	7.5

 

Отдельно суммируют ранги для положительных и отрицательных разниц. В нашем случае получаем: , . В качестве значения критерия T_z берут меньшую сумму независимо от знака, т.е. T_z =11,5. Сравниваем это значение с «критиче­ским» из специальной таблицы, входом в которую является число сравниваемых пар, но лишь тех, которые не дают нулевые разницы. В нашем случае таковых 9. Тогда T_кр = 6 для и T_кр =2 для . Поскольку даже для первого уровня значимости, различий уровней СД нулевую гипотезу отвергнуть нельзя и различия не являются статистически значимыми (р<0,05). Иными словами, у нас нет пока оснований утверждать, что действие кофеина носит исключительно физиологический характер.

Смысл теста состоит в следующем. Если бы мы имели бесконечно большой ряд случайных разниц, то число и величина положительных разниц равнялись бы числу отрицательных и, соответственно, суммы их рангов были бы равны. На конечном и ограниченном числовом массиве опять же чисто случайно может иметь место «перекос» в сторону преимущественно положительных или отрицательных разниц. Это обстоятельство и учитывается в критических значениях критерия.

T_кр – это граница между практически возможными и практически невозможными значениями критерия. Соответственно, если , то полученная нами сумма рангов с достаточно высокой вероятностью могла возникнуть чисто случайно и о сдвиге одного числового ряда относительно другого ничего определенного сказать нельзя. Это недостоверное различие. Если же , то наблюдаемое различие положительных и отрицательных разниц не могло быть получено случайным образом. Это означает, что смещение значений в сопоставляемых числовых рядах объясняется действием какой-то систематически действующей, неслучайной причины, т.е. носит статистически достоверный (устойчивый и прогнозируемый) характер.

Как было показано выше, пары, имеющие одинаковые числовые значения и, соответственно, дающие нулевые разницы, исключаются из рассмотрения. И если таких случаев много, то «жесткость» критерия нарастает, поскольку T_кр тем меньше, чем меньше сравниваемых пар. Соответственно, увеличивается число ситуаций, когда нулевую гипотезу отвергнуть невозможно, и различие будет считаться незначимым. Более того, если число пар окажется меньше 6, то критерий Вилкоксона вообще перестанет «работать»: 6 - минимальное число пар, для которого еще существует T_кр. Для меньшего числа его просто невозможно рассчитать. А подобные ситуации в медико-биологической практике возникают довольно часто, поскольку многие измерения неизбежно приходится выполнять с достаточно высокой степенью грубости, и вероятность появления совпадающих значений здесь все еще весьма высока.

 

13. Функциональная и корреляционная зависимость. Прямая, обратная связь.

Любые явления в окружающем нас мире могут быть связаны прямой или обратной связью. Эта характеристика называется направленностью связи.