Комбинированный метод хорд и касательных

 

Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, тогда уточнение корня происходит быстрее.

Пусть дано уравнение f(x)=0, корень отделен на отрезке [a, b].

Рассмотрим случай, когда f ‘(x) f ’’(x)>0 (рис. 2.13)

y

B0

в

 

ξ

a2

a1

a

b

b1

b2

x

A0

 

Рис. 2.13

В этом случае метод хорд дает приближенное значение корня с недостатком (конец b неподвижен), а метод касательных – с избытком (за начальное приближение берем точку b).

Тогда вычисления следует проводить по формулам:

; .

Теперь корень ξ заключен в интервале [a₁, b₁].

Применяя к этому отрезку комбинированный метод, получим:

; и т.д.

; (2.6)

Если же f ‘(x) f ’’(x)<0 (рис. 2.14), то рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:

y

 

 

b2

ξ

a

b1

b

x

 

 

Рис. 2.14

 

; .

Вычислительный процесс прекращается, как только .

 

Задания. Найти наименьший положительный корень уравнения одним из методов, указанных преподавателем.

 

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.

 

3. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

 

Будем считать, что некоторый процесс характеризуется двумя изменяющимися величинами x и y, из которых x выбирается как независимая, а y – как зависимая переменная величина. Предположим, сто каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y, т.е. y является функцией x.

На практике часто известна аналитическая зависимость между x и y, т.е. функцию нельзя записать в виде y=f(x). В некоторых случаях эта зависимость известна, но вычисления значений функций громоздко. В этих случаях прибегают к табличному способу задания функций. Таблица представляет собой набор значений функций для последующих значений аргументов:

 

x	x0 x1 …. xn
y	y0 y1 …. yn

 

Эти значения либо вычислены, либо получены экспериментально.

Преимуществом табличного способа задания функций является то, что для каждого значения аргумента, содержащегося в таблице, без вычислений можно найти значение функции.

Недостаток этого способа в том, что нельзя составить таблицу для всех значений аргумента, всегда найдутся такие значения аргумента, которых нет в таблице.

Таким образом, возникает задача о приближении (аппроксимации) функции: данную функцию y=f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией y(x) так, чтобы отклонения (в некотором смысле) Y(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция Y(x) называется аппроксимирующей.