Математическая постановка задачи интерполирования

 

Пусть на отрезке [x₀, x_n] задана функция y=f(x) своими n+1 значениями.

y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), …, y_n=f(x_n) в точках x₀, x₁, …, x_n, которые назовем узлами интерполяции.

Предполагается, что при . Требуется найти аналитическое выражение Y(x) функции, заданной таблично.

 

x0	x1	…	xn
y0	y1	…	yn

которая в узлах интерполяции совпадает со значениями заданной функции, т.е.

y₀=Y(x₀), y₁=Y(x₁), …, y_n=Y(x_n)

Процесс вычисления значений функции в точках x, отличных от узлов интерполяции, называют интерполированием функции f(x).

Если аргумент x, для которого определяется приближенное значение функции , то задача называется интерполированием в узком смысле. Если x находится за пределами отрезка [x₀, x_n], то задача отыскания значения функции в точке x называется экстраполированием.

Геометрически задача интерполирования для функции одной переменой y=f(x) означает построение кривой, проходящей через точки плоскости с координатами (x₀, y₀), (x₁, y₁), …, (x_n, y_n) (рис. 3.1)

следующие формулы для уточнения корня уравнения:

y=f(x)

y

y=Y(x)

 

 

xn

x2

x0

x1

x

 

Рис. 3.1

 

Очевидно, что через данные точки можно провести бесконечно много кривых. Таким образом, задача отыскания функции Y(x) по конечному числу ее значений является неопределенной. Но если в качестве интерполирующей функции Y(x) взять многочлен степени не выше nY_n(x), то задача станет однозначной.

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа

 

Пусть функция задана таблично

x0	x1	…	xn
y0	y1	…	yn

 

Построим многочлен L_n(x), такой, что

L_n(x₀)= y₀, L_n(x₁)= y₁, …, L_n(x_n)= y_n. (3.1)

При такой постановке задачи узлы интерполяции x₀, x₁, …, x_n могут произвольно отстоять друг от друга, т.е. узлы интерполяции неравноотстоящие.

Задача имеет решение, если степень многочлена L_n(x) будет не выше n.

Представим многочлен L_n(x) в виде:

,

где a_i (i=0,1,…,n) неизвестные коэффициенты, которые надо найти. Из условий (3.1) следует, что

Таким образом, получаем систему из n+1 уравнение для нахождения (n+1) неизвестных a₀, a₁, …, a_n

(3.2)

определитель которой

отличен от нуля, если x₀, x₁, …, x_n различны.

Тогда существует единственное решение этой системы

.

Найдя коэффициенты a₀, a₁, …, a_n, запишем многочлен L_n(x). Однако, каждый раз решать систему уравнений (3.2) затруднительно, поэтому рассмотрим другой способ построения L_n(x). Запишем его в виде:

. (3.3)

Из выражения (4.3) следует, что функция Q_n(x) должна удовлетворять условиям:

.

 

Легко видеть, что этим условиям отвечает многочлен вида:

(3.4)

В точках функция Q_i(x) обращается в 0, а в точке x_i равна 1.

Тогда, подставляя в (3.3) выражение (3.4), окончательно получим:

.

Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

В сокращенном виде его можно записать так:

.

 

Линейная интерполяция

 

В тех случаях, когда нет необходимости в отыскании приближенного выражения функции y=f(x), заданной таблично, можно использовать линейную интерполяцию, которая состоит в следующем.

Отыскивается интервал [x_i+1, x_i], в который попадает значение . необходимо вычислить .

На отрезке [x_i-1, x_i] заменим дугу кривой y=f(x) стягивающей ее хордой MN (рис. 2.3).

M

y

N

y

y=f(x)

y=f(x)

 

 

xi …

xi-1

x0 …

xn

x

 

Рис. 3.2

Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид: , т.е. .

В качестве приближенного значения функции возьмем .

 

 

Метод наименьших квадратов

 

При интерполировании основным условием является совпадение значений функции и значений интерполяционного многочлена в узлах интерполяции.

Однако при большом количестве узлов интерполяции получается высокая степень многочлена, что затрудняет вычисление. Кроме того, экспериментальные данные, полученные в результате измерений или наблюдений, могут содержать ошибки, которые вызваны несовершенством измерительных приборов, различными случайными факторами. Построение аппроксимирующего многочлена с условием обязательного прохождения его графика через эти экспериментальные точки будет означать повторение ошибок. Поэтому иногда целесообразней строить многочлен, график которого проходит «близко» от заданных точек.

Итак, пусть при изучении неизвестной функциональной зависимости y от x получена таблица значений:

x0	x1	…	xn
y0	y1	…	yn

 

Нужно найти эмпирическую зависимость y=f(x), значение которых при x=x_i мало отличались бы от опытных данных y_i. График функции y=f(x), вообще говоря, не проходит через точки (x_i, y_i), как в случае интерполяции, что приводит к сглаживанию экспериментальных данных (рис. 3.3)

y

yi

y1

Δi

f(x)

y0

 

 

x1 …

x0

xi

xn

x

 

Рис. 3.3

Построение эмпирической формы состоит из двух этапов:

1) выбор общего вида зависимости;

2) выбор наилучших значений параметров, входящих в формулу.

Метод наименьших квадратов не дает возможности выбрать вид зависимости, он позволяет лишь оптимально подобрать параметры приближающей функции. Вид зависимости выбирается из каких-либо дополнительных соображений: физических, геометрических т.д.

Будем считать, что тип эмпирической зависимости выбран, и ее можно записать в виде: , где f – известная функция; - неизвестные постоянные параметры, значения которых надо найти.

В каждой точке x_i вычислим разность между табличным значением функции y_i и вычисленным значением , .

- назовем отклонениями. Поскольку и , вообще говоря, не совпадают все или некоторые . Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек

.

1) S является функцией от независимых переменных

2) Параметры будем находить из условия минимума функции S.

3) Минимум найдем, приравнивая к нулю частные производные по этим переменным

(3.5)

Из системы уравнений (3.5) найдем .

Геометрически (рис. 3.4) метод наименьших квадратов можно интерпретировать так: среди бесконечного множества линий данного вида, проведенных относительно данных экспериментальных точек, выбрать одну, для которой сумма квадратов отклонений будет наименьшей.

 

приводит к сглаживанию экспериментальных данных (рис. 3.3)

 

 

y

 

 

x2 …

x1

x0

xn

x

 

Рис. 3.4