Методические указания к решению задач по управлению качеством

 

Если в задаче требуется оценить пределы колебаний доли бракованной продукции, алгоритм решения следующий. Сначала оценивают долю (частость) бракованных изделий в выборочной совокупности:

, (15)

где – доля бракованных изделий в выборочной совокупности; – число бракованных изделий; n – число единиц выборки.

Далее рассчитывают среднюю ошибку выборки, которая показывает среднее расхождение между характеристиками выборочной и генеральной совокупности. Расчёт средней ошибки выборки зависит от вида отбора единиц в выборку. При повторном отборе (рисунок 6) каждая отобранная единица возвращается в генеральную совокупность и теоретически может снова быть отобрана в выборку. При бесповторном отборе (рисунок 7) каждая отобранная единица исключается из дальнейшего рассмотрения.

 

РИСУНОК 6 – Схема повторного отбора единиц в выборку

 

РИСУНОК 7 – Схема бесповторного отбора единиц в выборку

 

При повторном отборе средняя ошибка выборки для доли (частости) рассчитывается по формуле:

(16)

 

При бесповторном отборе средняя ошибка выборки для доли (частости) рассчитывается по формуле:

 

, (17)

 

где - дисперсия доли бракованной продукции по выборке;

n – число единиц выборки,

N – число единиц генеральной совокупности.

Дисперсия доли бракованной продукции по выборке рассчитывается по формуле:

, (18)

 

где - доля бракованных единиц в выборочной совокупности.

Если выборка достаточно велика (объем составлял не менее 20 единиц), то считается, что ошибка распределена по нормальному закону. Таким образом, зная закон распределения ошибки, можно определить предельную ошибку выборки и таким образом оценить границы интервала, за которые оценка доли бракованной продукции выйдет с заданной вероятностью (доверительной вероятностью). Такой интервал называется доверительным.

Предельная ошибка определяется по формуле:

 

, (19)

 

где – предельная ошибка выборки;

– средняя ошибка выборки;

– коэффициент доверия.

Коэффициент доверия определяется в зависимости от того, с какой доверительной вероятностью требуется гарантировать результаты выборочного исследования. Для определения пользуются таблицами нормального распределения. Некоторые наиболее часто встречающиеся значения этого коэффициента приведены в таблице 9.

 

ТАБЛИЦА 9 – Наиболее часто встречающиеся значения

коэффициента доверия

Доверительная вероятность	0,683	0,954	0,997
Коэффициент доверия

 

Таким образом, границы доверительного интервала могут быть представлены следующим образом:

 

или , (20)

 

где р – число бракованных изделий в генеральной совокупности.

 

Если в задаче требуется оценить необходимую численность выборки для оценки доли бракованных изделий при заданных параметрах, алгоритм решения следующий.

Величина ошибки выборки зависит от численности выборочной совокупности . Задавая допустимую ошибку выборки, вероятность ошибки (через уровень доверительной вероятности), оценивая дисперсию изучаемого признака, можно определить численность выборки.

При повторном отборе необходимая численность выборки определяется по формуле:

. (21)

 

При бесповторном отборе необходимая численность выборки определяется по формуле:

 

, (22)

 

где – численность генеральной совокупности;

t – коэффициент доверия (определяется по таблице 9 в зависимости от заданной доверительной вероятности);

- дисперсия доли бракованной продукции по выборке (см. формулу 18);

– предельная ошибка выборки.

Решение типового примера. Произведено выборочное наблюдение для определения доли брака. В выборку было взято 800 изделий из общего количества в 6 тыс. изделий. В выборке было обнаружено 54 бракованных изделия. Определить размер колебания доли бракованных изделий в генеральной совокупности с вероятностью 0,954.

 

Определим долю дефектных изделий в выборке:

 

.

Определим дисперсию доли в выборочной совокупности:

 

.

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

 

Рассчитаем предельную ошибку выборки (t=2):

 

.

Определим границы доверительного интервала:

 

.

Таким образом, доля бракованных изделий в партии изделий с вероятностью 0,954 составляет от 6,11% до 7,39%.