Решение систем линейных алгебраических уравнений в системе MATLAB

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса

Метод Жордана - Гаусса является одной из модификаций метода Гаусса, в котором матрица коэффициентов при неизвестных последовательно приводится к единичной матрице, а на месте столбца свободных членов в расширенной матрице в результате располагается решение системы линейных алгебраических уравнений:

,

где - коэффициенты системы, - свободные члены, - неизвестные.

Сущность этого метода заключается в том, что, начиная со второго шага, зануляются все элементы в соответствующем столбце, кроме элемента, стоящего на главной диагонали. Это достигается с помощью алгебраических преобразований аналогичных классическому методу Гаусса. Если имеется система линейных алгебраических уравнений - го порядка, то на каждом шаге прямого хода метода Гаусса в каждом столбце матрицы коэффициентов зануляется ровно коэффициент.

Стандартной функцией, которая реализует метод Жордана-Гаусса в системе MATLAB, является функция rref(). Аргументом у этой функции является расширенная матрица коэффициентов.

Пример: решить с помощью метода Жордана –Гаусса систему линейных алгебраических уравнений

.

>> A=[3 2 -1;2 -1 3;1 -2 2]; B=[4;9;3];

>> AB=[A B]

AB =

3 2 -1 4

2 -1 3 9

1 -2 2 3

>> rref(AB)

ans =

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

Для решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью MATLAB можно применять оператор «\», который самостоятельно выбирает лучший метод для решения заданной системы уравнений. При этом решение системы линейных алгебраических уравнений любого порядка достигается одной командой:

Индивидуальные задания

· Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса,

· решить систему линейных алгебраических уравнений методом Жордана - Гаусса в системе MATLAВ.

 

Таблица 4

№	Задание	№	Задание
5

 

Продолжение табл. 4

Окончание табл. 4

		40

Содержание соответствующего раздела

В пояснительной записке

Данный раздел должен содержать:

· краткие теоретические сведения,

· исследование системы линейных алгебраических уравнений на совместность,

· аналитическое решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса,

· решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса в системе MATLAB,

· сравнение полученных результатов, найденных разными способами.