Розв’язання трикутника трилатерації за теоремою Лежандра.

Якщо сферичний трикутник заданий виміряними сторонами і потрібно знайти відповідні сферичні кути, то його розв’язок виконується за теоремою Лежандра наступним способом:

1. Вважаючи сторони сферичного трикутника прямолінійними, розв’язують його за тригонометричними формулами на площині:

,

,

,

де - площа трикутника,

- його півпериметр,

,

,

де - виміряні сторони сферичного трикутника,

, , - кути трикутника на площині.

2. Обчислюють сферичний надлишок

3. Обчислюють сферичні кути , , відповідні сторонам заданого сферичного трикутника:

Розв'язання трикутників за теоремою Лежандра

Таблиця 1

№ трикутника	Назва вершин трикутника	Виміряні сферичні кути	Поправки з врівноваження	Врівноважені сферичні кути		Кути плоского трикутника
	Віра Кін Сомово	69˚13΄47˝,04 68 34 43,71 62 11 34,05	-0,˝34 -0,34 -0,34	69˚13 46˝,70 68 34 43,37 42 11 33,71	-1,26 -1,26 -1,26	45˝,44 42,11 32,45
	180 00 04,80 180+ 180 00 03,78 +1,02	-1,02	180 00 03,78

Продовження таблиці 1

Логарифми синусів плоских кутів трикутника	Логарифми сторін сферичного трикутника	Обчислення сферичного надлишку
9.970 8149 9.968 9114 9.827 1247	4.674 4300 4.672 5265 4.530 7398	lg f доп.	1.4037 9.3489 9.8271 9.9689 0.0292
		0.5778 3˝.78

, , .

Приклад розв’язання див. в таблиці 6.

Таблиця 2

40˚	1.40 450	45˚	1.40 400 1.40 390 1.40 379	50˚	1.40 349 1.40 310

Розв’язання трикутників за способом аддитаментів.

а) нелогарифмічна схема

Таблиця 3

Назва вершин	Врівноважені кути сферичного трикутника	Синуси кутів	Наближені сторони	Аддитаменти	Сторони сферичного трикутника
А В С	50˚20΄19˝,98 62 12 45,11 67 26 59,00	0.7698329 0.8846830 0.9235434	38981,35 44796,91 46764,65	0,24 0,37 0,42	38981,59 44797,28 46765,07

180+ 180°00΄04˝,09

б) логарифмічна схема

Таблиця 4

Назва вершин	Врівноважені сферичні кути	сферичних кутів	сторін плоского трикутника	Аддитаменти	сторін сферичного трикутника
Віра Еин Сомово	69˚13 46,˝70 68 34 43,37 62 11 33,71	9.970 8159 9.968 9124 9.827 1276	4.674 4260 4.672 5226 4.530 7377		4.674 4300 4.672 5265 4.530 7397

180+ 180°00΄03˝,78

Аддитаменти для в 7-ому знаці логарифму.

Таблиця 5

					3.4	3.5	3.6	3.7	3.8	3.9
					0,1	0,2	0,3	0,4	0,7	1,0
	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7	1,8 2,8 4,5 7,1 11,2 17,8 28,1 44,6	1,9 3,0 4,7 7,4 11,7 18,6 29,5 46,7	2,0 3,1 4,9 7,8 12,3 19,5 30,8 48,9	2,0 3,2 5,1 8,1 12,9 20,4 32,3 51,2	2,1 3,4 5,4 8,5 13,5 21,3 33,8 53,6	2,2 3,5 5,6 8,9 14,1 22,4 35,4 56,1	2,3 3,7 5,9 9,3 14,8 23,4 37,1 58,8	2,4 3,9 6,2 9,8 15,5 24,5 38,8 61,6	2,6 4,1 6,4 10,2 16,2 25,7 40,7 64,5	2,7 4,3 6,8 10,7 17,0 26,9 42,6 67,5

Розв’язання трикутника трилатерації за теоремою Лежандра.

Таблиця 6

Назва вер-шин	Виміряні сторони м	м	км	, , .	Кути плоского трикутни-ка		Кути сферично-го трикутни-ка
В А С	44797,28 38981,59 46765,07	20474,69 26290,38 18506,90	1336,423 1716,025 1207,982	0,6033831 0,4699087 0,6675389	62˚12 43,˝70 50 20 18,51 67 26 57,50	1,36 1,36 1,36	62˚12 45,˝06 50 20 19,87 67 26 58,86
	130543,94 65271,97	65271,97	=650241 =806,375 =0,00506 =4˝,08			4,08

 

Для рішення сферичного трикутника за теоремою Лежандра і способові аддидаментів з використанням програми SfGeodesy, необхідно з меню Создать виконати однойменну команду. Після цієї команди відкриється вікно представлене на рис. 2. Далі необхідно заповнити наступні поля у формі: групу студента; прізвище, ім'я, по батькові студента; кут А; кут В; кут С; сторону b.

.

Рис. 2

Вихідні дані

Таблиця 7

№ тр-ка

Назва вершин

Виміряні кути

Геодезичні координати п. А, азимут сторони, логарифм сторони

I

II

III

IV

А С В

В А С

С В А

А В С

56˚38΄28,˝30 66 32 49,08 56 48 44,90

В =45˚42΄33,˝585 L =25 48 32,275 А АВ =32 39 18,175 lg S =4.435 8622 S АС =27 281,120

А С В

В А С

С В А

А В С

55˚28 25,18 64˚37 48,67 59˚53 47,85

В =45 20 32,175 L =24 32 30,221 А АС =121 31 18,240 lg S =4.408 1275 S АВ =25 593,372

А С В

В А С

С В А

А В С

55 16 23,28 62 44 08,32 61 59 32,02

В =45 23 48,240 L =26 31 38,451 А AC =108 35 21,710 lg S =4.410 3145 S AB =25 722,578

А С В

В А С

С В А

А В С

59 16 20,70 60 46 10,42 59 57 30,75

В = 46 13 21,531 L = 28 20 51,275 А АВ = 86 15 25,380 lg S =4.405,2885 S АС =25 426,612

А С В

В А С

С В А

А В С

58 18 18,41 60 45 12,71 60 56 30,84

В= 46 21 20,635 L =28 21 52,348 А АВ =80 26 32,780 lg S =4.408 2028 S АС =25 597,809

А С В

В А С

С В А

А В С

60°30΄22˝,11 56 30 22,80 62 59 19,01

В =46°44΄18˝,125 L =27 28 36,785 А АВ =73 28 38,248 lg S =4.418 2211 S АС =26 195,162

А С В

В А С

С В А

А В С

60 42 49,18 64 28 27,92 58 48 44,80

В =46 43 46,395 L =15 48 32,456 А АВ =40 36 21,112 lg S =4.425 8654 S АС =26 660,323

А С В

В А С

С В А

А В С

58 01 00,10 65 33 40,92 56 25 20,140

В =46 23 35,264 L =11 53 00,230 А АВ =170 24 37,025 lg S =4.415 8245 S АС =26 051,006

А С В

В А С

С В А

А В С

67 56 33,61 56 38 20,76 55 25 07 25

В =46 20 48,325 L =17 53 01,208 А АВ =49 17 55,147 lg S =4.382 5612 S АС =24 297,478

А С В

В А С

С В А

А В С

63 26 08,61 61 34 11,05 54 59 41,57

В =46 12 54,315 L =23 55 18,154 А АВ =41 20 21,132 lg S =4.396 2678 S АС =24 903,925

А С В

В А С

С В А

А В С

70 18 34,75 54 14 30,63 55 26 57,04

В =47 32 18,1020 L =29 47 10,324 А АС =245 17 15,250 lg S =4.428 2438 S АВ =26 806,728

А С В

В А С

С В А

А В С

60°30΄22˝,11 56 30 22,80 62 59 19,01

В =46°44΄18˝,125 L =27 28 36,785 А АВ =73 28 38,248 lg S =4.418 2211 S АС =26 195,163

А С В

В А С

С В А

А В С

62 35 58,25 59 36 35,29 57 47 26,03

В =47 02 11,035 L =31 56 25,186 А АВ =54 38 45,768 lg S =4.502 4826 S АС =31 804,063

А С В

В А С

С В А

А В С

61 02 54,38 57 14 50,76 61 42 15,78

В =45 42 12,542 L =47 56 02,246 А АВ =85 38 14,246 lg S =4.549 8462 S АС =35 468,776

А С В

В А С

С В А

А В С

63 32 47,89 55 38 44,94 60 48 29,22

В =45 27 37,654 L =23 42 56,245 А АВ =245 25 36,264 lg S =4.429 8222 S =26 904,331 АС

А С В

В А С

С В А

А В С

53 52 44,71 60 48 05,28 65 19 10,12

В =45 38 12,201 L =59 44 56,754 А АС =265 38 42,567 lg S =4.401 2615 S АВ =25 191,933

А С В

В А С

С В А

А В С

66 42 39,02 54 28 37,15 58 48 45,65

В =47 25 13,542 L =42 14 15,587 А АС =352 21 45,652 lg S =4.425 8674 S АВ =26 660,445

А С В

В А С

С В А

А В С

68°11΄25˝,56 55 23 08,56 56 25 25,42

В =46°38΄42˝,657 L =41 47 31,128 А АС =164 54 26,438 lg S =4.506 8765 S АВ = 32 127,468

А С В

В А С

С В А

А В С

62 42 18,24 60 12 42,04 57 04 59,42

В =47 08 42,1425 L =35 24 45,452 А АС =75 42 31,076 lg S =4.498 1456 S АВ =31 488,038

А С В

В А С

С В А

А В С

65 10 34,50 55 01 14,54 59 48 13,08

В =47 42 11,657 L =24 54 18,452 А АВ =82 31 45,142 lg S =4.576 2415 S АС =37 691,333

А С В

В А С

С В А

А В С

66 15 15,98 58 44 50,45 54 59 57,07

В =46 54 27,568 L =42 11 54,264 А АВ =262 14 52,675 lg S =4.566 4521 S АС =36 851,240

А С В

В А С

С В А

А В С

60 25 31,21 50 05 14,80 69 29 14,45

В =47 07 24,786 L =42 54 12,425 А АВ =76 42 36,765 lg S =4.486 5268 S АС =30 656,799

А С В

В А С

С В А

А В С

64 42 11,54 61 42 08,11 53 35 40,01

В =46 42 27,768 L =34 41 52,142 А АС =165 24 19,654 lg S =4.454 1456 S АВ =28 454,149

А С В

В А С

С В А

А В С

59°21΄16˝,42 56 45 40,14 63 53 02,65

В =47°45΄24˝,542 L =42 54 11,245 А АС =64 24 11,421 lg S =4.410 1542 S АВ =25 713,086

А С В

В А С

С В А

А В С

68 42 11,45 62 18 21,50 48 59 27,11

В =47 10 24,426 L =30 45 12,412 А АС =125 41 30,165 lg S =4.510 4218 S АВ =32 390,809

7. Контрольні питання до екзамену з дисципліни

1. Параметри сфероїда обертання

2. Основні системи координат, зв'язок між ними.

3. Головні радіуси кривизни. Нормальні перерізи поверхні еліпсоїда. Середній радіус кривизни.

4. Обчислення довжин дуг меридіанів, паралелей, площин на поверхні еліпсоїда.

5. Обчислення розмірів і площ рамок знімальних трапецій за геодезичними координатами їх кутів.

6. Визначення геодезичних координат кутів рамок трапецій за номенклатурою листів топографічних карт.

7. Геодезична лінія. Зв’язок напрямків геодезичних ліній по слідах прямих та зворотніх нормальних перерізів на поверхні еліпсоїда.

8. Рівняння Клеро.

9. Прямий та зворотній нормальний переріз. Величина розходження. Неоднозначність у побудові трикутників за слідами прямих та зворотних нормальних перерізів.

10. Обчислення геодезичних широт, довгот та азимутів. Загальні положення. Головні геодезичні задачі та методи їх рішення.

11. У чому полягає перевага методу вирішення трикутників за теоремою Лежандра у порівнянні з загальним методом?

12. Призначення аддитаментів.

13. Порядок дій при вирішенні сферичного трикутника загальним методом, за теоремою синусів.

14. Порядок дій при вирішенні трикутника трилатерації за теоремою Лежандра.

15. Рішення прямої геодезичної задачі за способом допоміжної точки (спосіб Красовського).

16. Рішення прямої геодезичної задачі за способом із середніми аргументами. Спосіб Гауса.

17. Рішення зворотної геодезичної задачі за способом Гауса.

18. Методи переобчислення координат Гауса-Крюгера з однієї зони в іншу.

19. Відомості про види проекції еліпсоїда на площину.

20. Рішення прямої та зворотної геодезичної задачі за способом допоміжної сфери (Спосіб Бесселя).

21. Відомості про методи рішення головних геодезичних задач.

22. Які задачі виникають при переході з поверхні еліпсоїда на площину проекції Гауса-Крюгера?

23. Математичні основи проекції Гауса-Крюгера.

24. Обчислення пласких конформних координат Гауса-Крюгера за геодезичними.

25. Обчислення геодезичних координат за координатами Гауса-Крюгера.

26. Редукування трикутника трапеції з еліпсоїда на площину проекції Гауса-Крюгера.

27. зв'язок між геодезичним азимутом і дирекційним кутом проекції Гауса Крюгера.

28. Визначення геодезичних координат за координатами Гауса-Крюгера.

29. Перехід від відстаней на еліпсоїді до відстані на площині в проекції Гауса-Крюгера.

30. Обчислення поправок у напрямки за кривину зображення геодезичної лінії на площині.

31. Формули для визначення Гауссового зближення меридіанів.

32. Визначення масштабу зображення і поправки у відстань при перенесенні його з еліпсоїду на площину.

33. Визначення поправок у напрямки за кривизну зображення геодезичної лінії на площині.

34. Диференційні формули першого і другого роду. Їх призначення.

35. Сформулювати теорему Лежандра.

36. Розв’зання сферичних трикутників за способом Лежандра й аддитаментів.

 

Рекомендована література

1. Морозов В. П. Курс сфероидической геодезии. Учебник для вузов.-М.: Недра, 1979.-304с.

2. Куштин И. Ф. Геодезия. Учебно-практическое пособие.-М.: "Издательство ПРИОР", 2001.-448с.

3. Куштин И. Ф. Сфероидическая геодезия.: Учебное пособие для вузов.-Ростов-на-Дону, 1982.-110с.

4. Монін І. Ф. Вища геодезія.: Підручник для вузів.-Київ: Наукова думка.-405с.

5. Геодезичний енциклопедичний словник /За редакцієюВолодимира Літинського.-Львів: Євросвіт, 2001.-668с.

6. Савчук С. Г. Вища геодезія/Сфероїдична геодезія.: Підручник.-Львів: Ліга-Прес, 2000.-248с.

7. Беспалов Н.А. Методы решения задач сфероидической геодезии. – М.: Недра 1980 г.

8. Закатов П.С.Курс высшей геодезии. М., Недра.

9. Практикум по высшей геодезии (вычислительные работы)/ Н. В. Яковлев, Н. А. Беспалов, В. П. Глумов и др.: Учебное пособие для вузов. М., Недра, 1982. 368 с.

 

 

Додаток А

(Зразок титульного листа)

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Державний вищий навчальний заклад

«Криворізький національний університет»

Кафедра геодезії

Контрольна робота

З дисципліни _________________________________

Варіант № ______

 

 

Виконав (ла):

Студент (ка) ____ курсу

Групи ___________

________________________

Прізвище, ініціали

№ залікової книжки ____________

 

Перевірив (ла):

Доцент _______________________

 

Кривий Ріг

201_ р.

Методичні вказівки до виконання контрольних робіт з дисципліни "Вища геодезія" для студентів 4 курсу напряму підготовки 6.080101“Геодезія, картографія та землеустрій” заочної форми навчання.

 

Укладачі:

Сидоренко Віктор Дмитрович, д.т.н., проф.

Перегудов Володимир Володимирович, д.т.н., проф.

Мазикіна Ольга Борисівна, к.т.н., доц.

 

Реєстрац. № ___________

 

Підписано до друку _____________ 2012 р.

Формат А5

Обсяг 24 др. док.

Тираж __ прим.

 

Видавничий центр ДВНЗ «КНУ»,

вул. ХХІІ партз’їзду, 11,

м. Кривий Ріг