Розв’зання сферичних трикутників.

Загальні положення

Тріангуляція є одним з основних методів визначення взаємного положення точок земної поверхні в плані.

Врівноважені на станції напрямки приводяться до центрів знаків і проектуються на поверхню референц-еліпсоїда Красовського шляхом введення поправок за висоту пункту спостереження і за ухилення прямовисних ліній. Довжини початкових сторін (базисів) також переносяться на поверхню еліпсоїда. В результаті напрямки з кожного пункту на суміжні відповідатимуть прямим нормальним перерізам. Після введення в напрями поправок за перехід від нормальних перерізів до геодезичних ліній всі пункти тріангуляції виявляться спроектованими на еліпсоїд, а сторонами тріангуляції - геодезичні лінії. Отримані трикутники формою будуть еліпсоїдними (сферичними).

Для обчислення координат пунктів в такій тріангуляції треба розв’язувати сферичні трикутники. Оскільки кривизна поверхні еліпсоїда безперервно змінюється разом з широтою, то розв’язок сферичних трикутників є складною справою.

Враховуючи, що полярне стиснення земного еліпсоїда мале, можна очікувати, що кути і сторони сферичного трикутника невеликого розміру мало відрізнятимуться від відповідних кутів і сторін сферичного трикутника, розташованого на сфері, радіус якої дорівнює середньому радіусу кривизни еліпсоїда в центрі заданої області.

Так теоретичні дослідження [2] показують: з відносною похибкою в довжині сторін і кутовий сферичний трикутник можна розв’язувати як сферичний при довжині сторін км.

У практиці геодезичних робіт розв’язок трикутника полягає в обчисленні двох його сторін по відомим кутам і стороні. Для цього використовується формула сферичної тригонометрії (теорема синусів)

, (1)

де , , ., (2)

Сторони сферичного трикутника , рис. 1, як дуги великих кругів повинні бути виражені в частинах радіусу сфери, на якій розташований цей трикутник. Довжини ж сторін , , , отримані з вимірювань, виражаються в лінійній мірі. Отже, при розв’язку трикутника за формулою (1) треба спочатку знайти за формулами (2), потім синуси цих сторін і після розв’язку виконати перехід в лінійну міру. Тобто вирішення сферичних трикутників по звичайній схемі вимагає додаткових обчислень в порівнянні з вирішенням трикутників на площині.

Рис. 1

У практиці геодезичних обчислень застосовують спеціальні методи вирішення сферичних трикутників, при яких довжини їх сторін в лінійній мірі обчислюються минувши перехід в градусну міру і назад. Таких методів два:

1. Розв’язання трикутників за теоремою Лежандра.

2. Розв’язання трикутників за методом аддитаментів.